2011 Fiscal Year Research-status Report
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23560070
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
伊藤 雅明 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (10116535)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 名誉教授 (70025469)
久保 富士男 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (80112168)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 離散方程式 / 超離散 / 保存量 / 可積分 / 数式処理 |
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| Research Abstract |
本研究課題の目的は離散系の保存量を探索する効率的アルゴリズムを開発し，それを数式処理システム上に実現することである．今年度は，有理式型の完全離散方程式(偏離散方程式)の保存量を探索するアルゴリズムとして，一様なランクをもつ差分方程式の保存量を逐次的に構成するアルゴリズムを作成し，それらが保存量であるための条件を求めた．また，そのアルゴリズムを実現するプログラムを数式処理システムREDUCE上に作成した．このプログラムにより，有理式型の保存量の分母分子の各々の次数を考慮しなくても探索することができるようになった．具体例としては，有理式型の離散方程式の一つであるLyness方程式の高次保存量を具体的に求めることができた．これらの保存量の構造を基にして，Lyness方程式の一般的な次数の保存量の具体的な形を求めるMAPLEプログラムを作成した． さらに，ランクが一様でない離散方程式に対しても上記のアルゴリズムが適用できるように，ダミーの重みを持った変数を導入することによって，より一般的な離散方程式に対しても保存量を求めることができるようになった． また，Lyness方程式の従属変数を離散化したk階のLyness max方程式については，第１，第２，第３の具体的な保存量を求め，元のLyness方程式に対応する保存量が存在することを示した．さらに，Lyness max方程式の一般的なn次の保存量を求めるための準備として，derivative Lyness方程式に対応するderivative Lyness max方程式を導いた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一様なランクを持つ方程式の保存量を求めるプログラムについては，実際の研究で使用できる程度のかなり大きな次数の保存量まで求めることができることを確認したので，この問題に関してほぼ予定通りである．ランクが一様でない方程式の保存量の探索については，未定係数の数が予想以上に膨大になり，コンピュータのメモリーの制限によって大きな次数の保存量の計算ができるところまでは至っていない．しかし，数値計算との併用によるゼロ判定のアルゴリズムを開発中であるので，この問題もまもなく解決できるものと期待している． また，Lyness 方程式およびLyness max方程式の保存量の構造についての研究は，次年度に行う予定であったが，こちらは当初の計画よりも少し早く進んでいるので，全体としてはおおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
大きく分けて，以下の３つの点について研究を進めていく予定である．（１）数値計算との併用によるゼロ判定アルゴリズムの開発．（２）Lyness max方程式の一般的なn次保存量の構造の解明．（３）一般的な超離散方程式の保存量を求めるアルゴリズの開発．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究費の大半は，研究打ち合わせおよび成果発表に関わる旅費であり，昨年度に得られたLyness max方程式の保存量に関する成果を６月にギリシャで開かれる国際会議で発表する予定である．
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