2013 Fiscal Year Annual Research Report
対称空間のｑ類似の研究： ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ の枠組による
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23654005
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
伊藤 達郎 金沢大学, 数物科学系, 教授 (90015909)
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| Keywords | Terwilliger 代数 / ＴＤ 対 / Ｌ対 / PかつQ多項式スキーム |
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| Research Abstract |
PかつQ多項式スキームのTerwilliger代数には I型，II型，III型があり，その既約表現の構造はＩ型のみが決定されていた．すなわち I型の既約表現については shape 予想よりも更に強い指標公式が示されており，指標公式に現れる分解に応じた構造を持つことが示されていた．II型，III型についても同様のことが成立するであろうという予想を立て，その証明に取り組んできた．本年度の研究においては，昨年度に II型について行った予備的研究を土台として，II型及びIII型についてその既約表現を完全に決定した．実質的に行ったことは II型，III型のＴＤ対が「Ｌ対のテンソル積となる」ことを示し，その分類を完成させたことである．副産物として，ＴＤ対に関する指標公式が証明された．
分類の手順は以下のとおりである．１）ウェイト分解をもとにした‘良い’基底を見つけ，その基底に関してＬ対のテンソル積を定義し（これを pre ＴＤ対と呼ぶ)，それがＴＤ関係式を満たすことを示す．２）このようにして構成された pre ＴＤ対に対して，Drinfel'd 多項式を定義し，その零点を求め，テンソル積構造との関係を明らかにする．３） pre ＴＤ対の既約性の判定条件を Drinfel'd 多項式の言葉で書き上げる．４）II型，III型のＴＤ対がすべてこのようにして得られ，その同型類は Drinfel'd 多項式により定まることを示す．
特記すべき点は，I型，II型のＴＤ対についてはただ１種類の Drinfel'd 多項式で足りるのに対し，III型のＴＤ対については２種類の Drinfel'd 多項式を準備する必要があることである．，以上の結果は，別表に記したようにいくつかの研究集会で発表したが，論文は現在準備中である．
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