2011 Fiscal Year Research-status Report
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23654009
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
高橋 篤史 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50314290)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 代数学 / 幾何学 / 数理物理学 / ミラー対称性 |
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| Research Abstract |
本挑戦的萌芽研究の目的は，dg圏に対する非可換ホッジ理論と平坦構造の函手的構成という，ホモロジー的ミラー対称性の理論における極めて重要な問題の解決に向けての活路を探求することである．非可換ホッジ構造の原型である通常のホッジ理論およびその周期写像の理論を展開するには，複素ベクトル空間・フィルター・重み・実構造または整数構造・偏極が必要であった．しかしながら，非可換ホッジ理論は，現在のところ，重み・実構造または整数構造・偏極の三構造がいまだ構成されておらず，未完成である．本年度は，非可換ホッジ構造の偏極の構成を目指した基礎研究，代数閉体上コンパクトで滑らかなdg圏に対する，ホッホシルトホモロジー群上に非退化で次数付き対称な双線型形式を構成，を目標に研究を行ってきた．とくに，カラビ‐ヤウdg圏の場合に解決を目指して，次のような結果を得た．カラビ‐ヤウdg圏のホッホシルトコホモロジー群上には，セール双対性から導かれる非退化で次数付き対称な双線型形式が存在する．カラビ‐ヤウ構造によりホッホシルトホモロジー群とホッホシルトコホモロジー群が同型になるので，ホッホシルトコホモロジー群上に非退化で次数付き対称な双線型形式が導かれる．一方で，ホッホシルトコホモロジー群上には，（次数付き対称ではない）非退化な双線型形式が存在することが知られ，これは上記のものとある等式により同一視されると期待される．通常の微分幾何学とセール双対性に基づき，成立すべき等式を決定した．現在，その証明を得るべく研究を行っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非常に困難な課題でありながら，小さいながらも時間に比例して，着実に一歩ずつ成果が出つつある．また，研究集会における講演や，執筆図書の一部に本研究の内容を取り入れるなど，本研究課題に対する成果の公表についても少しずつ行っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
代数閉体上コンパクトで滑らかなdg圏に対するホッホシルトホモロジー群上に非退化で次数付き対称な双線型形式を構成，という非可換ホッジ構造の偏極の構成を目指した基礎研究を継続する．とくに，カラビ‐ヤウdg圏の場合に周期的巡回ホモロジー群上に高次剰余型式を構成する，という目標も含めた，問題の完全な解決を目指す．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本挑戦的萌芽研究の旅費を用いて国際会議を開催する．本年度は震災の影響もあり残念ながら開催を見送ったが，次年度からは定期的に継続して行いたい．組織委員は研究代表者高橋篤史および連携研究者入谷寛を含む数名となる予定である．関連分野の著名な数学者を海外より招へいし，当該分野の発展の基礎となる国際会議としたい.
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