2012 Fiscal Year Research-status Report
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23654039
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| Research Institution | Iwate Prefectural University |
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Principal Investigator |
村木 尚文 岩手県立大学, 総合政策学部, 教授 (60229979)
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| Keywords | 非可換確率論 / 独立性の分類定理 / 普遍積 / 自然積 / 自由独立性 / ブール独立性 / 単調独立性 / 証明の単純化 |
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| Research Abstract |
非可換確率論における普遍的独立性概念はちょうど５つだけ存在していることが、報告者により、２００３年に証明されている。そこでは、普遍的独立性概念が非可換確率空間に対する自然積という積演算として定式化されている。この自然積は、(1)普遍性、(2)結合性、(3)延長性、(4)分解性の4つの代数的公理を満たすものとして定式化されるものである（ただし、２００３年の論文では(3)と(4)を合わせて正規性と呼んでいる)。この分類定理の２００３年における証明には複雑で煩わしい計算を行っているステップが含まれており、分類定理の成立する理由を明瞭に理解することを阻んでいる。このステップで証明された主張は、自然積をある種の展開形式で表示した時、そこに現われる展開係数について、それが「悪い」係数である時には係数の値が皆ゼロになる、というものである。この主張の２００３年の証明では、結合性の公理を活用して、問題を１０２変数からなる大きな連立方程式系を解くことに帰着させている。これは大変煩わしい計算である。従って、分類定理のよりよい理解のためには、より明瞭でな別証明を与えることが望ましい。当該年度（２０１２年度）には、この分類定理の別証明の探求という課題にアプローチし、非可換確率論における独立性概念という根本的概念の理解を深めることを試みた。これは、分類定理のより深い理解は、自然積の４条件を弱めて一般化された積演算、従って一般化された独立性概念を構成する試みに対し、有益な経験と情報をもたらすものと考えたからである。試行錯誤の結果、４条件に加えて、正値性というごく自然な条件を仮定すると、（正値性をもつ）普遍的独立性概念はちょうど５つしかないということの極めて単純な証明が得られることが分かった。また、この証明の試みにおける副産物として、一般化された独立性の構成するための手がかりも得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
元々の研究計画では、24年度は、q-独立性における極限定理（中心極限定理、少数の法則、無限分解可能分布）について調査する予定であった。しかし、計画を変更し、非可換確率論における基本定理であると考えられる普遍的独立性概念の分類定理について、立ち戻り、その証明の単純化を試みるなかで、独立性概念の本質を抉り出して独立性の概念の理解を深める方向に方向転換した。この証明の単純化の研究を通して、独立性概念の定式化のためには結合法則は必ずしも必須のものではなく、むしろ、普遍性と正値性の２条件の方が、独立性の概念をより一般化するためには基本的である、との認識に至った。本来の計画とはややちがう道筋を通って研究を進めたことになるが、大局的には、新しい独立性概念の構成という最終目標に向かって順調に進んでいると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
２４年度における研究の進行方向の転換に伴い、２５年度の研究の推進方策について立て直す。２５年度には、２３年度に実施したq-独立性概念の研究を深め、これを２４年度に行った分類定理における公理系の意味の理解と合わせて、q-独立性概念に関する研究を整理し、さらに他の独立性概念（捩れ独立性等）の構成とその基本性質の探求を行う方針である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本研究を進める上で、海外の研究者による最新の成果の情報を収集することが必要である。このため、研究費を海外で開催される国際会議やワークショップに参加するための旅費に充てる。また、独立性概念やキュムラント概念の専門家を訪問し、諸々の問題について直接議論し研究を推し進めていく計画である。そのための旅費に研究費を充てる。また、研究推進に必要な文具類の購入費に研究費を充てる予定である。
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Research Products
(4 results)
