2011 Fiscal Year Research-status Report
非線形シュレーディンガー方程式の解の爆発時間を越えての延長可能性
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23654052
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
名和 範人 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分放映式 / 爆発解 / 曲線の運動 / 特異点 / 爆発解の延長 / シュレーディンガー方程式 / ネルソン拡散過程 |
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| Research Abstract |
（L2 臨界）非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の爆発時刻を越えて解を延長する方法を，解の背後にあるネルソン拡散過程と解の絶対値の自乗の等高面を記述すると考えられる方程式を利用して従来の方法とは異なる観点から数学的に定式化しようというのが本研究課題の目標である． ある妥当な爆発スピードの仮定の下，爆発時刻において拡散過程は到達点を持ち，その事実から解の絶対値の自乗の極限形状についても，ある程度の情報が得られる事は分かっていた：有限個のディラック測度（特異点）と絶対連続測度と考えられる残りの部分（「肩」）からなる．解の延長のためには，肩の部分の性質や特異点の生成の詳細を知る必要がある．上述したネルソン拡散過程と等高面の方程式を利用し，特異点生成以後の解の接続を，レーザービームの自己集束のモデルとして納得できるように，数学的な合理性を持って定式化する方法を，２通りの場合で考察した． 等高面自体の運動を表す幾何学的な運動方程式の導出はできていないが，その面を与える空間座標のひとつが時間の経過と共にどのような運動をするかを表す方程式を見いだした．それは退化する可能性のある１階常微分方程式系である．この方程式に，等高面上の点であるという条件を加えると，形式的な議論ではあるが，空間次元が２未満では過剰決定系であり２より大きな場合は劣決定系であることが分かる． レーザービームの自己集束モデルは空間次元が２の場合に相当し，この場合には十分な情報が得られる可能性がある．また，球対称解の場合は等高面は球面であり，得られた方程式は等高面の方程式と言える．これはネルソン拡散の振る舞いについてのヒントも示唆し，爆発解の位相の部と，絶対値をとった形状との関係性が発見的には見えて来たが，厳密な数学としての証明は現時点では困難であるが，その爆発点へ向かう経路の幾何については進展があった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
具体的な解の爆発時刻を越えての接続方法としては， レーザービームの自己集束のモデルとして納得できるような２つのシナリオを考えている：特異点を捨てて肩の部分の時間発展を継続させる方法；一度出来た特異点が解消されて，全体として再び時間発展が継続される方法．一つ目の方法は有力そうだが，物理的に期待される幾何光学的な経路とは違う光跡が得られる例があり，二つ目は特異点の解消のメカニズムを数学的な合理性をもって記述する事が難しい． 解の絶対値の自乗の等高面ではなく，それに含まれる点の運動を記述する方程式を見いだす事はできたが等高面自体の運動を記述する幾何学的運動方程式を見い出すことには成功していない．この事実が厳密な数学化への障害となっているように思える．見いだされた等高面内の点の運動方程式は，空間２次元の場合は決定系であるように見えるが，厳密な数学を展開するには障害が多く，等高面を再構成するには，さらに時間が必要であるように思われる． しかしながら，発見的な等高面の運動の考察から，背後にあるのネルソン拡散過程の経路については示唆されるものがあり，予想される評価よりは弱いものの，解の爆発速度の下からの評価を改善することができた．これは数学としては厳密な成果であり，見本路のある振る舞いが確率１で従う事が証明できた事が鍵となった．評価の改良には特異点に向かう見本路（確率は正であるが１ではない）の振る舞いを，さらに詳しく知る必要がある．このような見本路の性質を解析できる一般論は存在せず，個別の状況にあった方法を工夫するしかないが，球対称解の場合には等高面の運動が解の位相の部分に関する情報をもたらしてくれそうな兆候はある．その場合に予想される直感的／発見的な結論の正否を数学的に証明するのは易しくは見えない．さらなる解析には数値的な検証も必要だと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
直感的および発見的な考察の下で予想される結論の正否を判断するための数値的な検証法の推進を図るべきかと考えている．レーザービームの自己集束モデルとしては空間２次元の解析が重要であるが，この場合でさえ数学的な解析の難しさが浮き彫りにされてきている．それゆえに空間１次元の問題（過剰決定系になる）をモデルケースとして考えることも意味があるのではないかと考えている．この場合の「等高面」は点の運動になる．この場合も容易くはないであろうが，爆発解だけではなく漸近自由な解の場合も考察する事により，解の位相部分のに関して新しい知見が得られる可能性がある．背後にあるネルソン拡散過程の挙動も，漸近自由解の場合の方が見やすい場合もあり，等高面（点）と拡散過程の間の関連性も捉えやすいように思われる． 空間２次元の場合の等高面の運動を「曲面の運動学」的に捕らえるために，平成２４年度から，連携研究者の芝浦工業大学システム理工学部の石渡哲哉准教授を分担者に加える．本研究課題の重要な方法論の一つに解の等高面の運動を探ることが上げられが，空間次元が２の場合は，それは彼が専門とする曲線の運動論（カーブショートニングなど）の範疇であり，その数値計算に関する論文もいくつか著している．彼との議論からは，曲線運動論的な新たな知見を得る事が期待されだけではなく，数値的な検証も押し進める事ができるようになると期待している． 具体的な解の爆発時刻を越えての接続方法としては， 一度出来た特異点が解消されて，再び時間発展が継続されるとしたシナリオが有力であるが，爆発解を爆発しない解で近似する，申請者が１９９１年当時に考えた方法（RIMS 講究録755）が役に立つかもしれない．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本研究は，解の等高面を見ようとしているため幾何学的な問題意識が重要視されるが，それは古典的な意味での幾何学対象よりも広い意味で考える必要がある．そのため国内外の当該分野やその周辺分野の研究者を招聘してのセミナーやワークショップを企画するなどして，知見の交換や議論の場を多くする．特に，海外研究協力者である G. Fibich 教授（Tel Aviv大学），分担者である石渡哲哉准教授，それと曲線の幾何学的な運動の研究者である矢崎茂俊准教授（明治大学）らの招聘を考えている． G. Fibich 教授は，申請者とは別の方法で爆発解の延長問題を考えており（M. Klein との共同研究），彼らの方法論との比較検討や，彼らとの議論は有益なものとなろう．新しい方向性も生まれるかもしれない． 申請者の用いている方法は，数学化は容易くはないようだが，ネルソン拡散過程や解の等高面を考える事は，爆発解に対して直感的な描像をもたらしてくれる．現在のところ，それらを利用した直感的／発見的な議論で予想される結果の正否の確認のためには数値的検証が有効であるように思われる．そのためのソフトウェアなどの購入などの計算機周りの環境の整備や，場合によっては，数値計算の効率化のために新しい計算機を導入することも考えている．
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