2014 Fiscal Year Annual Research Report
非線形シュレーディンガー方程式の解の爆発時間を越えての延長可能性
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23654052
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
名和 範人 明治大学, 理工学部, 教授 (90218066)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム工学部, 准教授 (50334917)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | 非線形シュレーディンガー方程式 / 爆発解 / ネルソン拡散課程 / 曲率流 / 等高面 / クリスタライン / 国際研究者交流（イスラエル） |
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| Outline of Annual Research Achievements |
レーザービームの自己集束のモデル方程式の一つは，擬共型不変な非線形シュレーディンガー方程式であり，その爆発解がビームの集束を記述している。その爆発解を爆発時刻を越えて解を延長することは数学的にも物理学的にも興味深く，その解の延長方法を，解の背後にあるネルソン拡散過程と解の絶対値の自乗の等高面を記述すると考えられる方程式を利用して，従来の方法とは異なる観点から数学的に定式化するこを目標としている。
擬共型不変な非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の背後にあるネルソン拡散過程を考えるて，ブラウン運動の tail event に注目することにより爆発スピードの下からの評価が可能となった（論文準備中）。上からの評価も極限形状を仮定すれば可能である。残念ながら，拡散過程の経路と決定論的な等高面の運動との関係を結びつけるような厳密な数学的なツールは見い出せなかった。しかしながら，等高面の運動と関係するクリスタライン運動については，幾つか進展があり，駆動力付クリスタライン曲率流によるスパイラル解の大域存在や，曲率流に関連するある準線形放物型方程式の爆発解の性質を解析した。また，半線形波動方程式の爆発解の延長問題についても議論し，本課題の内容を引き継ぎ包含するような研究テーマへと展開した。
Gadi Fibich 教授を招聘し，彼と Klein 博士のシュレーディンガー方程式の爆発解の延長問題に関する論文について議論した。非線形ダンピング項を付加したり非線形指数飽和を用いて特異点を回避して近似して解析するが，方程式の解の位相部分の情報を失う。線形集束を示すような爆発解に対しては，集束の前後のビーム開度の比にある種の普遍性が見られることが数値解析で確認されている。消失した情報を回復し，この現象を数学的に証明することが今後の研究課題の一つである。
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