2013 Fiscal Year Annual Research Report
遷移ダイナミクスへの新しいアプローチ：力学系の大域計算と計算トポロジーの融合
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23684002
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
荒井 迅 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362432)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 応用数学 / アルゴリズム |
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| Research Abstract |
本研究では様々な数理モデルに表われるダイナミックな構造の変化を解析するための新しい数学的手法を開発することを目標としている。遷移ダイナミクスなどと呼ばれる、時間発展に対して不変ではない構造の解析に用いることを目標とする点が従来の研究とは大きく異なり、特に力学系や流体力学的な流れの時間発展の構造を有向グラフで表現し、そのグラフに対して様々なアルゴリズムを適用して構造の変化の情報を引き出す研究かが主な対象である。
本年度は昨年度に引き続き、力学系から得られた有向グラフに対して様々なグラフクラスタリングアルゴリズムを適用して得られるクラスター分解の力学系的な意味づけや、アルゴリズムの安定性などを主として研究した。結果として、力学系の特徴的な振舞いに対応した分解を高速に得るアルゴリズムの改良や、その挙動についての知見を深めることが出来た。
そのほかに本年度は組合せ的ホッジ分解の手法を用いることにより、有向グラフで表現された力学系に対してリアプノフ関数に近い性質を持つ関数を構成する（擬リアプノフ関数）アルゴリズムの開発に成功した。この手法においては Penrose-Moore 擬逆行列の構成が鍵となるが、一般に用いられている特異値分解による方法は本研究の目的にはメモリや速度の面で有効でないため、新たに Penrose-Moore 擬逆行列の近似アルゴリズムを改良して実装する研究も進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
力学系から得られたグラフに対する操作の研究については、クラスタリングアルゴリズムの利用のほかに組合せホッジ分解の応用による擬リアプノフ関数の構成など、有用性の高い操作が幾つか得られており、おおむね順調に研究が進展している。
また、計算トポロジーの方向でも絡み目の絡み数計算アルゴリズムが得られるなどの進展があり、今後の研究の進展においてこれらの相互の連携も期待できるため、総合的には順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は、これまでに得られたアルゴリズムをより具体的な問題に応用し、新たな成果を得る段階に入る。そのためには、まずアルゴリズムの並列化を進め、大規模なクラスターで高速に計算できるように改良する必要がある。絡み数計算アルゴリズムについては本質的に並列化の困難はないので、コーディングを工夫して高速化を考えることになる。クラスタリングやホッジ分解の応用に関しては理論的に若干の改変を加えたほうが並列度は上がると期待されるので、まずはその研究を進める。この点に関しては、申請者が以前にセンサーネットワークの研究を行なったときに用いたマイヤービートリス系列を用いる方法や、ラプラシアンの局所的計算アルゴリズムを応用することが出来ると期待される。
具体的な応用に関しては、流体力学のシミュレーションより得られる流れのデータの解析を主として目標とする。特に、絡み数の計算アルゴリズムを用いて、ヘリシティの空間的非一様性と流れのエルゴード性との関連についての網羅的な研究を進める予定である。
また、最終的には得られた成果をパッケージ化して広く数理科学の研究者が使えるようなかたちで公開する予定である。
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