2013 Fiscal Year Annual Research Report
非線形偏微分方程式における時空間評価と初期値境界値問題の研究
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23684004
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 非線形 / 初期値問題 / 境界値問題 / 波動方程式 / 分散型方程式 / 放物型方程式 |
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| Research Abstract |
(1) ソボレフ空間における非線形偏微分方程式の初期値問題の研究。ベゾフ空間とトリーベル・リゾルキン空間を用いて、非線形放物型方程式の時間局所解と時間大域解を考察した。微分型非線形項を持つ熱方程式に対して、尺度不変性の議論に基づいて小さい時間大域解と長時間解の存在を示した。ナヴィエ・ストークス方程式とケラー・ジーゲル方程式に応用し、初期値問題の大域適切性を示した。
(2) 重み付きエネルギー評価の研究と非線形波動方程式の初期値問題への応用。重み付きエネルギー評価の構成を行い、一次元における非線形波動方程式の初期値問題への応用を行った。非線形項の零条件を光錐に沿った接微分を用いて考察し、非線形項の接微分の指数に応じて、非線形波動方程式の解の存在時間を評価した。応用として、零条件を満たす非線形波動方程式の存在時間を考察した。
(3) 曲がった計量を持つ時空間での非線形偏微分方程式の研究。非線形クライン・ゴルドン方程式の初期値問題におけるエネルギー解を、ド・ジッター計量を用いて考察した。非線形項は冪乗型、および、指数関数型のものを考察した。Yagdjian (2012) による先行結果はエネルギー解、および、1次元空間を扱えないものであったが、本研究では両方ともに扱える。空間膨張による消散効果をエネルギー評価の観点で明示した。
(4) 重み付き Moser-Trudinger 不等式の構成と指数関数型非線形項を持つ偏微分方程式への応用。特異性のある重みを持つルベーグ空間において Moser-Trudinger の不等式の最良定数を示した。最良定数を持つ不等式が成り立つ最小化関数の存在も示し、最良定数を持つ Gagliardo-Nirenberg 型不等式も示した。得られた不等式を特異性のある指数関数型非線形項を持つ消散型方程式とクライン・ゴルドン方程式の初期値問題へと応用した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画通り、順調に推移している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究経過と研究成果の発表を重視する。論文として投稿段階あるいは印刷段階にあるような最新の研究動向を調べることを目的の一つとして、各地で開催される研究集会に参加し、講演者および参加者との研究討論を行う予定である。また、共同研究者を訪問または招聘し、研究討論を行う予定である。
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