2011 Fiscal Year Research-status Report
アフィン・リー代数の臨界レベルの加群に対するパス模型の構成
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23740003
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | アフィン・リー代数 / 量子アフィン代数 / パス模型 / Lakshmibai-Seshadriパス / Mirkovic-Vilonen多面体 / quantum Bruhat graph |
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| Research Abstract |
g をアフィン・リー代数とする. 当研究の目標は, 臨界レベルのウェイトを最高ウェイトとする g の既約最高ウェイト表現のパス模型を構成することであるが, この (予想される) パス模型と, レベル・ゼロの優整ウェイトを型とするパス模型との間には, 類似点があると予想される. そこで, 昨年度はレベル・ゼロの優整ウェイトを型とするパス模型 (特に, Lakshimibai-Seshadri パス, 以下, LS パス) について次の研究を行った. (1) (レベル・ゼロの) LS パスに対応する Mirkovic-Vilonen 多面体の理論の構築を目指した. まず, 各 LS パス p に対して, 多面体の頂点集合 M(p) を与える写像を定め, p に M(p) を対応させる写像が単射であることを証明した. 後は, この写像による像を決定することができれば「レベル・ゼロの Mirkovic-Vilonen 多面体の理論」が完成することになるが, これは来年度以降の研究課題である. なお, この理論は, レベル・ゼロのパス模型だけではなく, (次数作用素抜きの) 量子アフィン代数の有限次元表現の結晶基底にも適用できると予想される. (2) レベル・ゼロの LS パスを, 有限 Weyl 群上の (parabolic) quantum Bruhat graph を用いて記述することに成功した. さらに, これの応用として, レベル・ゼロのパス模型上の次数関数 (＝エネルギー関数) を quantum Bruhat graph 上の最短有向パスのウェイトを用いて記述した. この結果は, レベル・ゼロの LS パスと quantum cohomology の間に関係があることを示唆しているが, 実際にどのような関係があるかついては今のところ分かっていない.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では, 初年度は, g がランク 1 または 2 の捩れのない A 型アフィン・リー代数の場合に, 臨界レベルのウェイトと最高ウェイトとする既約最高ウェイト表現を, A 型の有限次元単純リー部分代数に関して既約分解することが目標であった. こちらの方はまだ十分な結果が得られていないが, 一方で, レベル・ゼロのパス模型に関しては非常に深い結果を得ることができた. 「研究実績の概要」に記載したとおり, 当研究の目標である臨界レベルのパス模型とレベル・ゼロのパス模型の間には, 類似点があると予想されるため, 平成23年度に得られた結果は今後の研究に大きな貢献をするであろう. そこで, 達成度を「おおむね順調に進展している。」とする。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成24年度は, 次のような研究を行いたい. (1) g がランク 1 または 2 の捩れのない A 型アフィン・リー代数の場合に, 臨界レベルのウェイトを最高ウェイトとする既約最高ウェイト表現の, A 型の有限次元単純リー部分代数に関する既約分解を計算する. これは当初の研究計画では平成23年度中に行う予定であったが, レベル・ゼロのパス模型に関する研究を行ったため, まだ未完成である. そこで, 平成24年度の早い時期にこの計算を完成させ, 当初の研究計画に従った研究の推進を行いたいと思う. 可能ならば, ランクが一般の捩れのない A 型の場合に, 同様の既約分解の計算を完成させたい. (2) (1) とは別のアプローチとして, 平成23年度に着手した「レベル・ゼロの Mirkovic-Vilonen 多面体」の理論の完成を目指す. これが完成すれば, レベル・ゼロのパス模型や量子アフィン代数の有限次元表現の結晶基底を幾何的に調べることができるようになる. 臨界レベルのパス模型とレベル・ゼロのパス模型の間には, 類似性があると予想されるため, このアプローチから当研究の目標を達成することも期待できる.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
３月に出張した分の旅費が４月に支払われるため, 次年度使用額に含まれているが, 計画どおり実施している. これ以外の次年度の研究費の主な使用計画は以下のとおりである. (1) ５月にカリフォルニア大学リバーサイド校において行われる研究集会「Algebraic and Combinatorial approaches to representation theory (表現論への代数的・組み合わせ論的アプローチ)」に参加し, 講演を行う. また, 研究集会の参加者との議論を通して, 当研究に関する情報収集・交換を行う. (2) ７月に大阪市立大において「Schubert Calculus」に関する研究集会が, 秋に京都大で組み合わせ論的表現論の研究集会が行われる. これらの研究集会に参加し, 当研究に関する情報収集・交換を行う. また, これら以外にも当研究に関係する研究集会には可能な限り参加したいと思う. (3) 上記の既約分解の計算を行う際に, 高速なコンピュータが必要になる可能性が高い. そこで, 必要に応じて, 高速なコンピュータ (もしくは部品) やソフトウェアを購入する. (4) 表現論に関連する書籍を購入する.
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