2011 Fiscal Year Research-status Report
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23740008
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
小島 秀雄 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90332824)
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2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | アフィン代数曲面 / 対数的小平次元 / 対数的多重種数 / 高階導分 / 正規デルペッゾ曲面 / 多項式環 |
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| Research Abstract |
今年度は任意標数でのアフィン代数曲面、ピカール数1の正規デルペッゾ曲面、および多項式環の高階導分とその核について研究を遂行し、以下の成果を得た。1. これまでの研究成果で得られていた対数的小平次元が1となる開代数曲面の構造定理と対数的標準因子公式を用いて、対数的小平次元が1となる非特異アフィン代数曲面の対数的多重種数を調べ、そのような曲面の対数的2種数は正になることを証明した。これは基礎体の標数がゼロの場合にも完全には知られていない結果であり、研究代表者がこれまで得ていた結果を改良している。この結果について、これまでに得られていた対数的小平次元が1となる開代数曲面の構造に関する研究成果と合わせて論文にまとめ、現在投稿中である。2. 平成22年度の研究で得られていたピカール数1の高々有理的対数的標準特異点を持つ正規デルペッゾ曲面の特異点の個数が5以下であることの証明を、K. Palka氏による最近の対数的Qホモロジ―平面の研究成果を用いることにより簡略化し、かなり見通しの良い証明を得た。この結果ついては高橋剛氏との共著論文としてJ. Algebraに投稿し、掲載が決定した。この結果により、そのような曲面を特異点の個数により分類できることが期待され、現在、研究を続けている。3. 体上の2変数多項式環の階層的局所有限高階導分を分類した。これは体が代数閉体の場合は宮西正宜氏によって代数幾何的な手法を用いて得られているが、A. Sathaye氏とP. Russell氏の結果を用いることにより、純代数的な証明を与えることができた。4. 体上の整閉整域Aの部分環がA上の有理的高階導分の核として表されるための必要十分条件を得た。これはAが2変数多項式環の場合は研究代表者により既に得られていたが、これを拡長することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究計画で予定していた研究内容は(1)対数的小平次元が1となるアフィン代数曲面の対数的n種数が正となる自然数nの範囲を求める、(2)正標数の2変数多項式環上の局所有限高階導分の分類とアフィン平面上の加法群スキームの作用が固定点を持たないための必要十分条件を調べる、(3)ピカール数1の対数的標準特異点のみを持つ正規完備有理曲面上の特異点の個数の上限があるかどうか調べる、であった。 研究内容のうち、(2)については予定通りの研究成果を得ることができ、更に、多項式環の高階導分の核に関する研究代表者の結果を一般化する等の当初では予期していない結果を得ることができた。(1)については、非特異アフィン代数曲面の場合に対数的2種数が正になるということを証明し、一般の場合は今後の課題として残ったが、これだけでも価値ある結果であると思われる。(3)については反標準因子が豊富である場合の上限が存在することが分かり、標準因子が数値的正の場合は課題となっているが、標準因子が巨大である場合以外は上限が分かることが予想される。 研究計画で予定した部分で一部未解決の部分があるが、研究計画で予定していたことはおおむね研究することができ、これらの結果だけで複数の学術論文が発表できるだけの成果を得ることができた。更に高階導分の核の研究といった当初予定していなかった研究成果を得ることができた。従って、今年度の研究はおおむね順調に進展していると判断した。尚、当初の研究計画は研究が上手く進展しない可能性を含めておりかなり多くの研究内容を挙げていた。それでもかなりの部分の研究が完成し更に当初は予期していなかったことまで分かったことから、もっと自己評価を挙げても良いとも思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究計画は当初の予定に大体沿った形で行うが、今年度の研究の進行状況を考慮し、以下のように更に研究内容を具体的にすることにした。以下の研究課題の内、平成24年度は主に1～3について研究を行い、平成25年度は平成24年度で残された部分と以下の4について研究を行う。 (1) 対数的小平次元が1となる正規代数曲面の対数的n種数が正になる自然数nの範囲を調べる。更に、対数的n重標準写像が曲線のペンシルを与えるような最小の自然数nを対数的標準因子公式を用いることにより調べる。(2) 体上の多項式環の導分や高階導分に関する様々な結果を、体の部分を整域にした場合はどうなるか調べる。具体的にはネーター整域上の2変数多項式環の階層的局所有限高階導分の核、および、UFD上の多項式環の整閉多項式と高階導分の核との関係を調べる。(3) 高々有理的対数的標準特異点を持つピカール数1の正規デルペッゾ曲面について、そのような曲面の特異点が5個以下であることが示されているので、特異点の個数が多い場合から順に対数的Qホモロジ―平面の構造定理とそのコンパクト化を調べることにより、分類を実行していく。(4) 対数的小平次元が2となる非特異アフィン代数曲面の対数的n種数が正となる自然数nの範囲を調べる。また、特異点を持つ場合についても曲面の座標環がQ分解的になる場合を中心に調べる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度は研究費が3割減額されるかもしれないということを考慮して、研究代表者が主催した研究集会での旅費の支給額を当初の計画より減らす等したため、未使用の研究費が生じた。次年度は、今年度の未使用分を次年度配分と合わせて、以下のように使用することを計画している。 研究計画を遂行するためには代数幾何学、可換環論、複素幾何学の最新の研究成果が必要になる。そのため、当該分野の図書と論文誌を約20万円分(約1.5万円×12冊、約1万円×2冊)購入する。また、新潟大学で購入していない学術雑誌に掲載された論文(約5万円分)を購入する。更に、出張先での数値計算、論文執筆、および研究発表を円滑に行うためにノートパソコン(約13万円×1台)を購入する。 旅費については以下のように使用する。8月上旬に中国のJilin Universityで開催される研究集会での研究発表とアフィン代数幾何学研究者との研究打ち合わせをするための外国旅費として約18万円使用する予定である。国内旅費は研究集会参加及び研究打ち合わせ旅費として約41万円(内訳 京都大学3日間＠7.5万円×1回、九州大学3日間＠9万円×1回、高知大学4日間＠10万円×1回、名古屋大学3日間＠6.5万円×1回、埼玉大学2日間＠4万円×2回)、関西学院大学で開催されるアフィン代数幾何学研究集会での研究発表旅費として約10万円 (5日間1回) 使用する予定である。また、研究代表者が主催する高知大学と関西学院大学で開催される研究集会での研究発表と研究打ち合わせを行うため、研究集会での講演者の旅費として約14万円(7万円×2人分)使用する予定である。
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