2011 Fiscal Year Research-status Report
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23740013
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
今井 直毅 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (90597775)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | Galois 表現 |
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| Research Abstract |
局所的な手法によって、局所 Lanlgands 対応の研究を行った。具体的には、レベルが 3 で高さが 2 の Lubin-Tate 空間の半安定モデルを計算し、その還元への Weil 群、GL_2 および斜体の乗法群の作用を計算した。この計算を用いて導手 3 の表現に対する Langlands 対応が Lubin-Tate 空間のエタールコホモロジーに実現されることを証明した。これは純局所的な証明であり、剰余標数が 2 の場合を含んでいる。剰余標数が 2 の場合は、GL_2 に対する Langlands 対応は Weil 表現を用いて構成されており、cuspidal type を用いた対応の記述は知られていなかった。この研究では、導手 3 の表現に対して、そのような対応の記述を与えた。また、局所 Artin 相互律写像を具体的に計算することにより導手 3 の表現に対するイプシロン因子の計算を行った。上記の研究で必要になる、一次元リジッド空間の半安定モデルの一般論の構築を行った。具体的には、一次元リジッド空間の半安定被覆から半安定モデルを構成し、そのエタールコホモロジーを、半安定還元曲線を用いて記述した。さらにその構成と記述が、有限平坦射に関して関手的であることを証明した。PEL 型志村多様体のコンパクト台コホモロジーと隣接輪体コホモロジーを比較する研究も行った。正確には、cuspidal 部分に関しては両者が一致するということを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
局所的な手法によって Langlands 対応を調べることができ、研究は順調に進展していると考えている。導手 3 の表現に対する局所 Langlands 対応が Lubin-Tate 空間のエタールコホモロジーに実現されることを、純局所的に証明することができた。剰余標数が 2 の場合も含めて証明できたのは、特に評価できるところだと思う。一次元リジッド空間の半安定モデルの構成とエタールコホモロジーの記述を与えることができた。この結果は、一般のレベルの Lubin-Tate 空間の研究においても有用である。PEL 型志村多様体のコンパクト台コホモロジーと隣接輪体コホモロジーが cuspidal 部分に関しては一致するということを証明した。Langlands 対応の研究においては、cuspidal 表現を調べることが本質的な場合が多く、今後の応用が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度も、局所的な手法による Langlands 対応の研究を行う。レベルや高さが一般の場合の Lubin-Tate 空間の研究を行う予定であるが、その場合は Jacquet-Langlands 対応の実現が、半安定モデルの構成に使えるのではないかと考えており、そのような方針で研究を進める予定である。また Lubin-Tate 空間の半安定モデルの情報を用いて、Lubin-Tate 空間の p 進エタールコホモロジーを調べる予定である。この p 進エタールコホモロジーは p 進 Langlands 対応と関係があるのではないかと期待している。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度も、海外の研究集会における情報収集等を行う予定である。今年度は、論文の執筆に時間がかかり、海外の研究集会における情報収集を行う十分な時間が取れなかったため、次年度使用金が生じた。さらに、国内の研究集会における情報収集や、他の研究者との議論のための出張も行う予定である。また、研究に必要となる文献の購入も予定している。
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