2012 Fiscal Year Research-status Report
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23740013
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
今井 直毅 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (90597775)
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| Keywords | Galois 表現 |
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| Research Abstract |
高さ $h$ の $p$ 可除群の変形空間である Lubin-Tate 空間のコホモロジーに，$GL_h$ に対する局所 Langlands 対応及び局所 Jacquet-Langlands 対応が実現されることは，大域的な手法を用いて Boyer と Harris-Taylor によって証明されているが，このことの純局所的で幾何的な証明を与えることは，この実現のより良い理解を得るうえで重要な問題と思われる．
今年度は，$h$ が $2$ の場合に導手指数 $3$ の表現に対する局所 Langlands 対応が Lubin-Tate 空間のコホモロジーに実現されることを純局所的に証明した．
より具体的には，まず，レベル $3$ の Lubin-Tate 空間の安定形式モデルを決定した．さらに，得られた安定モデルの情報を用いて，Lubin-Tate 空間のコホモロジーに局所 Langlands 対応が現れることを示した．
剰余標数が $2$ の場合，$GL_2$ に対する局所 Langlands 対応は Weil 表現を用いて構成されている．一方，Lubin-Tate 空間のコホモロジーに現れる対応は cuspidal type を用いて記述されるので，現れた対応が実際に局所 Langlands 対応であることを示すのは非自明な問題である．本年度は，イプシロン因子を計算することによって，このことを示した．言い方を変えると，導手指数 $3$ の場合に，局所 Langlands 対応の cuspidal type による記述を与えることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
導手指数 $3$ の場合ではあるが，局所 Langlands 対応の実現の純局所的な証明や，cuspidal type による記述が得られるなど，本研究はおおむね順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，Scholze-Weinstein によって導入された Lubin-Tate perfectoid 空間を用いて，一般次元の場合の局所 Langlands 対応の実現について研究していく．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
国内外で行われる研究集会に参加し情報収集を進めていく．
また研究に必要な書籍等を購入する．
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