2014 Fiscal Year Annual Research Report
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23740016
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
川ノ上 帆 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (50467445)
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2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 特異点解消 / IFP |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題ではイデアリスティック・フィルトレーション・プログラム（以下ＩＦＰ）に沿って任意標数の代数閉体上の特異点解消について研究を行った。以下最終年度（平成２６年度）の研究成果について述べた後に期間全体を通じての成果について述べる。
本課題の研究は整閉包を用いるアルゴリズムと微分閉包のみを用いるアルゴリズムの二本柱で進めている。前者に関しては単項型非特異性原理を扱った論文の出版を得たが、本年度における特筆すべき進展は得られなかった。後者に関しては前年度に引き続き曲面の場合でのIFPの不変量を参考に３次元多様体の埋め込み特異点解消を研究したが、徐々に一筋縄ではいかないことが分かってきた。そこで作戦を変更し、まずは技巧的であった曲面での不変量の理解を深め、それを梃子に改めて３次元の場合を考えることにした。本年度の主要な成果はこの部分であり、特異点解消における古典的な不変量である剰余重複度という概念を通じて曲面でのIFPの不変量の自然な解釈を与えた（論文準備中）。これは高次元に歩を進める上でも他のアプローチと比較する上でも有用な結果であると考える。以上が最終年度の成果である。
次に期間全体の成果について述べる。任意標数における特異点解消は代数幾何における大変重要な問題であるが、近年幾つかのアプローチが現れているものの依然としていずれも捗々しい進展はない。本研究においては曲面の埋め込み特異点解消の場合について常に減少する不変量を与えるという理想的な形で解決を与え、IFPがこの問題に対し実効性を持つアプローチであることを立証した。一方で整閉包を組み込んだ場合の単項型非特異性原理や不変量のザリスキ近傍への降下などIFPの理論面での整備を進め、高次元の場合についてのより深い知見も得た。当初謳った特異点解消問題の最終解決という目標からすると見劣りするが、十分意義のある研究成果を得たと考える。
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