保型Ｌ関数の零点の位数と特殊値

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23740020
• Research Institution: Nara Women's University
• Principal Investigator: 梅垣 由美子 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (80372689)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2017-03-31
• Keywords: 整数論

Outline of Annual Research Achievements

new form に付随する保型 L 関数の関数等式の折り返しの点における零点の位数を解析的に調べることを目的としている。その零点の位数は Model-Weil 群のランクと一致することが Birch and Swinnerton-Dyer 予想となっているので、解析的に Model-Weil 群のランクを調べる手段として L 関数を用いることができると言える。現在までにも保型 L 関数の零点については多くの結果がある。しかし、それらの多くはテクニカルな理由で old form の存在しない空間に限って議論されている。近年、研究代表者により old form の空間の基底を具体的に構成し、old form が存在しない場合について零点を論じることが可能となった。しかし、その結果もいくつかの条件が付いているので、その条件を外し、更に一般的に零点の位数を調べることに取り組む計画となっている。

今までに得られている結論をそのままの方法で一般化することを考えると、明快な結論を得にくいことが想像された。従って、あるレベルの new form を固定して直接扱うのではなく、総合的に考察することによってレベルに左右されない結論を得るための研究を導入した。この新しい視点で、この研究課題のステップを確認し、目的となっている Modell-Weil 群のランクの解析的考察や、応用として特殊値の考察につなげていく方針をより実現性の高いものに調整した。特に Siegel's zero の非存在は特定の指標に関する議論ではないので、この新しい方針はとても有効であると思われる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究途中で中断（産前産後休暇・育児休業）があったため、研究計画を一部再調整した。研究方針をより良いものにするために新しい視点を導入した。

Strategy for Future Research Activity

レベルを固定しない総合的な視点での零点の位数の研究をする。その研究を確立した後に特殊値への応用を考察する。

Causes of Carryover

産前産後休暇・育児休業により研究計画を延長したことによる。

Expenditure Plan for Carryover Budget

研究計画通りに使用する。