対数幾何学における代数的Ｋ理論の類似物の研究とその数論幾何・代数幾何への応用

2014 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 23740030
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 萩原 啓 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 研究員 (30512173)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2015-03-31
• Keywords: 代数的K理論 / 対数的幾何学 / 代数的サイクル

Outline of Annual Research Achievements

本年度は対数的Riemann-Rochの定理の数論的・代数幾何学的な応用、および本定理の更なる一般化や新たな定式化などについて考察した。
まず、これまでに続いて、Hilbertモジュラー曲面などの数論的に重要な代数多様体に対し、これまでに得られていた対数的Riemann-Rochの定理を適用することで、保型形式などの数論的対象に対する結果が得られることを確認した。
一方、これらHilbertモジュラー多様体などにおいては、曲線の場合と異なり、群の作用による商としていくつかのタイプの特異点が現れる。Hilbertモジュラー曲面などの場合においては簡単な特異点解消によって、現時点で得られている対数的Riemann-Rochの定理が適用可能な状況に帰着できるものの、対数的幾何学の観点からは、そのような帰着なしで直接適用可能なタイプの対数的Riemann-Rochの定理が自然に期待される。
そこで、そのような定理の発見に向けて、正則かつ対数的正則とは限らない場合におけるKummerエタール層やKummerエタールK群の一般論の構築に従事するとともに、いくつかの簡単な場合において諸例の計算を行った。
一方、対数的Riemann-Rochの定理のこれまでの定式化に現れていた一般Bernoulli数を含む項の数論的意義がより明確になるような新しい定式化について、特別の場合にではあるが行い、またその数論的応用について考察した。