2011 Fiscal Year Research-status Report
多重高次Ｍａｈｌｅｒ測度の数論的および幾何学的解釈の研究
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23740036
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| Research Institution | Kinki University |
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Principal Investigator |
佐々木 義卓 近畿大学, 総合理工学研究科(研究院), 博士研究員 (20548771)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | Mahler測度 / L関数 / ゼータMahler測度 / ポリログ関数 / 多重ゼータ値 |
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| Research Abstract |
Mahler測度は多項式に対して定まる実数であり、L関数の特殊値など様々な数学的意味を持つ。多重高次Mahler測度はその拡張として近年導入されたものであるが、Mahler測度の代数的構造の研究の枠組みには必要不可欠なものである。本研究は、多重高次Mahler測度の諸性質を追求することでMahler測度の代数的構造解明を目指すものである。 本年度は多重高次Mahler測度と多重ゼータ値や多重L値との関係解明に向けて、対称性を用いた代数的な側面からの研究および母関数を用いた解析的な側面からの研究を行った。 RayによるDirichlet L関数の特殊値とダイログ関数との関係を応用する事で、様々な導手のDirichlet指標に付随する多重L値と多重高次Mahler測度の関係を解明した。これまでに、多重高次Mahler測度と多重L値の関係を示す結果はいくつか与えられてきたが、本研究結果はそれをより統一的に行ったものである。また、この結果はMahler測度とDirichlet L関数の特殊値の関係に関するChinburgの予想の高次化を与えた萌芽的研究結果でもある。 母関数による研究も行った。多重ゼータ値の母関数はよく研究されており、得られている情報も多い。その多重ゼータ値の母関数から多重高次Mahler測度の母関数に迫ることで、等号付き多重ゼータ値と多重高次Mahler測度との関係を初めて示した。Mahler測度の研究において多項式の選定は極めて困難な問題である。本研究は、その問題を効果的に解決できる方法を提起した研究結果である。 上記の研究結果については、多重高次Mahler測度の創始者の一人であるMatilde Lalin氏と意見を交わした。現在、共同で研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究成果によって、多重高次Mahler測度と多重L値の関係がより明確にとらえることができた。次年度の研究計画を進める上では、十分な研究情報が得られた。また、母関数を用いた研究法が非常に効果的であることもわかったので、今後の研究の大幅な進展が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は研究計画通り、本年度に得られた研究結果もとに、Mahler測度の代数的構造解明を目指す。数値計算による実験的観察と理論的実証を組み合わせることで、多重高次Mahler測度と多重L値の関係をさらに掘り下げる。次年度も成果発表および研究支援者との研究連絡のために、研究費の大半を旅費にあてる。また、多重L値に関連する研究分野と本研究との関係および応用を念頭においた研究にも取り組む。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度も、共同研究者および研究支援者と研究討論を頻繁に行いながら研究を進めていくため、研究費の大半を旅費にあてる。また、図書環境や計算機環境の整備にも研究費をあてる必要がある。旅費以外の研究費を研究環境の整備にあてる予定である。
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