2011 Fiscal Year Research-status Report
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23740041
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| Keywords | 特異点論 / implicitな常微分方程式 / 微分方程式 / ルジャンドル特異点論 / 微分幾何学 / フロント / 完全解 / 縮閉線 |
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| Research Abstract |
１．微分方程式の特異点論的研究について、微分方程式の定性理論の構築に対しては、完全解を持つimplicitな１階常微分方程式系の分類問題を考察するために、その特別な場合である、古典的完全解を持つ１階のクレロー型の常微分方程式系の分類を行いました。大域的な考察を行うためには、分岐の分類と並んで、半局所的な分類が必要になります。１階のクレロー型方程式の半局所的な分類を行うために、対応する発散図式の分類問題に帰着させ、そこで得られている分類結果を応用することにより、生成的な分類を行うことができました。その結果、完全解を持つ１階常微分方程式系、つまり、完全積分可能な１階常微分方程式の半局所的な分類の場合には、発散図式を用いた分類結果を適応することが出来ないことが分かり、同様の手法ではなく別証明が必要になることが分かりました。 また、implicitな１階常微分方程式系に対する完全解の存在条件に対しては、２つのimplicitな１階常微分方程式系に対する完全解、この場合は、幾何学的解の存在条件を求めました。また、２つのimplicitな２階常微分方程式系に対しても、部分的な存在条件を求めました。２．微分幾何学に対する微分方程式の特異点論の応用については、曲線短縮方程式の研究を行うために、ルジャンドル曲線の性質を研究しました。特に、フロントに関して曲率写像が定義されますが、より一般的に、ルジャンドル曲線に対して、射影した場合にはめ込みにあることを用いて、２つの曲率を定義し、これらの微分幾何学的性質を研究しました。 また、特異点を持つ曲線の微分幾何学の構築の１つとして、フロントに対しても、縮閉線の概念を拡張し、その性質を調べました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．微分方程式の特異点論的研究について、微分方程式の定性理論の構築に対しては、古典的完全解を持つ１階のクレロー型の常微分方程式系に対応する、半局所の１階のクレロー型方程式の生成的な分類を行うことが出来ました。また、implicitな１階常微分方程式系に対する完全解の存在条件に対しては、２つのimplicitな１階常微分方程式系に対する完全解、この場合は、幾何学的解の存在条件を求めることが出来、２つのimplicitな２階常微分方程式系に対しても、部分的な存在条件を求めましたので、おおむね順調に進展していると言えます。２．微分幾何学に対する微分方程式の特異点論の応用に対しては、曲線短縮方程式の研究は進んでいませんので、この点では遅れていると思いますが、その基礎にあたる、ルジャンドル曲線の性質を研究を行い、２つの曲率を定義し、これらの微分幾何学的性質を研究しました。さらに、新たに特異点を持つ曲線論の微分幾何学の構築の１つとして、フロントに対しても、縮閉線の概念を拡張し、その性質を研究することが出来ましたので、総合的におおむね順調に進展していると言えます。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．微分方程式の特異点論的研究について、微分方程式の定性理論の構築に対しては、完全解を持つimplicitな１階常微分方程式系の分類問題の研究を行います。この場合の半局所的な分類は発散図式に帰着した分類結果を用いることが出来ないことが分かりましたので、別の手法を用います。通常の系ではない、完全解をもつimplicitな１階常微分方程式の分類には、ルジャンドル特異点論を用い、母関数族の分類に帰着させて分類を行っていましたので、この手法を応用して、分類の研究を行いたいと思います。 また、implicitな１階常微分方程式系に対する完全解の存在条件に対しては、引き続き変数を増やした場合と階数を上げた場合の研究を行います。２．微分幾何学に対する微分方程式の特異点論の応用に対しては、曲線短縮方程式の研究を行うことを目指しますが、まだ、ルジャンドル曲線の研究が不十分であると思われますので、次年度も特異点を持つ曲線の基礎的研究を行い、次年度以降に応用することを目指します。 また、フロントに対しても、縮閉線の概念を拡張しましたので、これを手掛かりにさらなる特異点を持つ曲線の微分幾何学の構築を目指します。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
理論の確認と見通しを立てるために、具体的な例に対して、視覚を用いることにより研究を推進します。特に、常微分方程式系の解曲線の図やルジャンドル曲線の図を描くことが必要になりますので、コンピュータや周辺機器を購入するために設備備品費、消耗品費を計上します。 本研究を推進するために国内外を問わず特異点論、微分方程式、微分幾何学との専門家との意見交換や研究打ち合わせ、研究成果の発表を行うために、国内・外国旅費を計上します。 また、特異点論関係、微分方程式関係、微分幾何関係図書の整備を行いますので、設備部品費を計上します。 さらに、学部学生や院生による数値計算や研究補助のため謝金等を計上します。
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