2013 Fiscal Year Research-status Report
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23740047
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (90315177)
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| Keywords | 統計多様体 / 捩れを許す統計多様体 / アファイン微分幾何学 / アファイン分布 / 情報幾何学 / プレコントラスト関数 / Tsallis統計 / 非可積分推定関数 |
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| Research Abstract |
統計多様体の幾何学について，可積分系，非可積分系の両面から構造解明を行うことが本研究の目的である．
近年の複雑系科学に頻出するべき型分布族の幾何学を理解するためには，統計多様体の一般化した共形構造など，可積分系理論が必要であると考えられる．また，データからは直接観測されない隠れ変数が存在する推定理論には，捩れを持つアファイン接続など，非可積分系の理論が必要であると考えられる．そこで本研究では，これら統計モデルの幾何学を具体例として，統計多様体の幾何学の解明を目指す．さらに可積分幾何学と非可積分幾何学の双方を同時に扱うことにより，それぞれの幾何学の特殊性なども議論する．
上記の研究目標達成のために平成２５年度は，非可積分系理論については，疑似統計多様体の幾何学を考えた．また，微分形式の幾何学やシンプレクティック幾何学などとの関連も考察した．こららの考察から，これまではアファイン分布論も用いて記述していた疑似統計多様体の可積分性に関する結果を，アファイン分布論を用いずに同様の可積分性を記述する結果を得た．
可積分系理論については，変形指数型分布族上の統計多様体の幾何学について，さらに研究を行った．これまでの研究で，変形指数型分布族には複数の異なる平坦統計多様体の構造が入ること，またこれらの幾何学の考察から，確率変数の期待値や独立性という概念は絶対的なものではなく，統計モデルの構造に依存して修正されることが分かっていた．今年度はさらに，これら幾何構造，統計構造と標本空間の代数構造との関連や，離散幾何学との関連なども考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２５年度の研究目標は非可積分系の統計多様体の幾何学を考察することであった．この目標に対してアファイン分布の幾何学を考察するとともに，疑似統計多様体の幾何学を考察した．研究実績欄でも述べたように，疑似統計多様体の可積分性について一定の成果が得られた．
一方，可積分系統計多様体の幾何学については，昨年度からさらに大きな進展があった．これまで情報幾何学は確率密度関数族のパラメータ空間に関する幾何学であったが，変形指数型分布族を議論する場合には標本空間の代数構造も考察する必要があることがわかった．
他分野の連携についても，徐々に成果を上げつつある．もともと変形数型分布族は統計力学の分野で導入されたものであった．平成２５年度には外国人研究者も含めた物理学者らとの研究討論を行ったが，この交流が発展し，平成２６年度には統計物理学の国際会議で招待講演を行うこととなった．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２６年度は本研究の最終年度であり，研究の仕上げとして，可積分系と不可積分系の統計多様体の幾何学の関連を考える．また，可積分系統計多様体の幾何学は想定以上に進展しつつあるので，さらに研究を発展させる．
可積分系の幾何学と不可積分系の幾何学は全く独立ではなく，アファイン微分幾何学を通して互い関係している．また，これまでの研究によって，推定関数の幾何学を用いると２つの幾何学が統一的に記述できることもわかってきた．平成２５年度に得られた結果をもとに，射影微分幾何学や微分形式の幾何学も考察することにより，統計多様体の幾何学を発展させる．
また変形指数型分布族上の統計多様体の幾何学について，パラメータ空間上の幾何学と，標本空間上の代数構造，幾何構造の関連を考察する．標本空間上の数学構造考えることは，これまでの情報幾何学とは異なる，新たな研究の方向性である．
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