2012 Fiscal Year Research-status Report
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23740048
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
太田 慎一 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)
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| Keywords | フィンスラー幾何学 / リーマン幾何学 / 曲率 / 最適輸送理論 |
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| Research Abstract |
今年度は主にフィンスラー幾何学及び測度距離空間上の幾何解析の研究を行った。
まずフィンスラー幾何学については、前年度に本研究課題の目標の１つであったCheeger-Gromoll型の分解定理を既に得ていた。今年度はその後の展開の１つとして、近藤慶氏、田中實氏と共にToponogov型の三角形比較定理のフィンスラー多様体への拡張と、その応用を研究した。Toponogov型の三角形比較定理はリーマン幾何学では断面曲率の下限を特徴づける古典的で重要な性質であるが、そのままではフィンスラー多様体に拡張できないことが容易にわかる。我々の研究では比較定理に現れる「角度」をフィンスラー多様体で適切に解釈することで、ある種の一般化された三角形比較定理を得た。定理の仮定はとても強いものではあるが、リーマン多様体ではないフィンスラー多様体も対象に含んでいる。また、この三角形比較定理を用いて、有限位相型定理などの幾何学的な応用を得た。
また、Alexandru Kristaly氏と共同で、測度距離空間でのCaffarelli-Kohn-Nirenberg不等式についての研究も行った。具体的には、体積の増大度を上から押さえた測度距離空間において、Sobolev不等式のある種の一般化であるCaffarelli-Kohn-Nirenberg不等式が成り立つとき、その空間はユークリッド型の体積増大度を持つことを示した。これは、非負リッチ曲率を持つリーマン多様体で知られていた性質を、空間を測度距離空間に、仮定を体積増大度の上限にそれぞれ一般化したものである。幾何学的な応用として、非負の重みつきリッチ曲率を持つフィンスラー多様体についてのある種の剛性定理も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究成果は共同研究者からもたらされたテーマに沿って行われたものであり、前年度までの研究と直接の関係はないが、内容は本研究課題に関係するものである。平行して前年度までの研究の発展にあたる研究も行っており（「今後の研究の推進方策」の欄に後述）、今年度は次年度以降のその研究のための準備段階にあったと位置づけられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」で述べた成果を得たあと、フィンスラー構造をはるかに一般化したハミルトン系についての曲率の研究を始めており、次年度前半はこれに集中する予定である。ハミルトン系における曲率の概念は、AgrachevとGamkrelidzeにより、制御理論の視点から導入された。最近Leeによりリッチ流の種々の単調性定理への応用が与えられ、幾何学的な面からの関心も高まっている。筆者はフィンスラー多様体における重みつきリッチ曲率の知識と技法を生かしてハミルトン系の研究を行っており、既に幾つかの成果を得ている。
その他には、フィンスラー幾何ではリッチ流や（擬）アインシュタイン計量の研究、極小曲面の正則性の研究にも取り組む予定である。一方、最適輸送理論に関連しては、ここ数年で「リーマン型の曲率次元条件」と呼ばれる性質の研究が進み、Cheeger-Gromoll型の分解定理などの興味深い結果が続々と得られている。これについても研究を進めていく予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし。
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