2014 Fiscal Year Annual Research Report
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23740049
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
深谷 友宏 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 講師 (40583456)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | 粗Baum-Connes予想 / 非可換幾何学 / Coarse Geometry / 相対双曲群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
粗幾何学（coarse geometry）では，非コンパクトな完備リーマン多様体や，語距離を入れた有限生成な無限群などの非有界な距離空間から，局所的な情報を捨て去り，「遠くから眺めたときに見えてくる構造」，これを粗構造（coarse structure)と呼ぶ，に着目して研究する．非コンパクト完備リーマン多様体上のDirac型作用素は，一般にFredholm作用素には成らない為，整数に値を取るFredholm指数を定義できない．そこでRoeはDirac型作用素の「指数」をRoe環と呼ばれるC*環のK群として構成した．
さらにRoeはHigsonとともに，Dirac型作用素を粗$K$ホモロジーのサイクルと見なし，その指数を対応させる事により，Roe代数のK群への準同型写像を構成した．これらはリーマン多様体とは限らない距離空間に対して定義され，また距離空間の粗構造にしか依らない．この準同型写像を，粗組み立て写像（coarse assembly map）と呼ぶ．こん粗組み立て写像が同型になるという主張が粗Baum-Connes予想である．粗組み立て写像は，正スカラー曲率を持つ計量の非存在（Gromov-Lawson予想）や，高次符号数のホモトピー不変性（Novikov予想）への応用が有る．なお，この粗Baum-Connes予想は，非可換幾何学の中心的な話題であるBaum-Connes予想の非同変版と見なせる．
これまでに愛媛大学の尾國新一氏との共同研究で，相対双曲群に対して適切な仮定の下で，粗Baum-Connes予想が成立する事を示した．最近の研究では，距離空間の直積に対して，そのを反映したコンパクト化を構成した．それを用いて，適切な条件の下で，相対双曲群とCAT(0)群とPolycyclic群の直積に対して，粗Baum-Connes予想が成立する事を示した
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