2013 Fiscal Year Research-status Report
Ｃｈｅｒｎ－Ｓｉｍｏｎｓ型理論の量子化にもとづくモジュラー圏の幾何学的構成
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23740051
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
五味 清紀 信州大学, 理学部, 准教授 (00543109)
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| Keywords | ねじれＫ理論 / 位相的Ｔ双対 / 位相的絶縁体 / 実ベクトル束 / 四元数ベクトル束 / ＦＫＭＭ不変量 |
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| Research Abstract |
ねじれＫ理論を考えることが本質的な役割を果たす数学的現象として、位相的Ｔ双対と呼ばれる現象がある。この現象はもともと超弦理論におけるＴ双対に起源を持っている。超弦理論には様々なバリエーションがあるが、そのうちで軌道体理論に関わるものを関係づけるＴ双対が存在する。このＴ双対に動機づけられて、二次巡回群作用についてのねじれＫ理論とその変種について、位相的Ｔ双対が成立することを証明した。この位相的Ｔ双対は、群作用がない場合の最も基本的なＴ双対の一般化になっているとともに、David Baragliaによって考えられていたＴ双対に関する結果を特別な場合として含むものである。
上記の研究実績の他に、「実」ベクトル束および「四元数」ベクトル束の分類を上げることができる。この結果は、位相的絶縁体の分類においてAIおよびAIIと呼ばれるクラスの量子系の記述に密接に関係する。位相的絶縁体の文脈において現れる時間反転対称性を持つ球面およびトーラス上の次元が４以下の場合を考え、ホモトピー論における議論を応用することで、上記のベクトル束を分類することに成功した。この分類は対応するＫ理論による分類よりも精密な分類ではあるが、Ｋ理論による分類との差はない、という結論が我々の結果から導かれる。「四元数」ベクトル束の分類に際しては、古田・亀谷・松江・南が2000年前後に導入した不変量(FKMM不変量)を用いている。(なお、この研究実績は本研究課題の一環として得られたものであるが、研究計画時には予定していなかったGiuseppe De Nittisとの共同研究の結果として得られたものである。)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
同変ねじれＫ理論がその同型類を分類するような圏を構成することが研究の主要なステップであるが、この圏の構成に想定以上に手こずっている。
しかしながら、同変ねじれＫ理論のＴ双対に関する研究実績は、そのような圏の構成に向けて役に立つ知見であろう。また、同様な圏の構成の問題は、位相的絶縁体のAIおよびAII以外のクラスに関わるＫ理論でも見られると推定でき、これらに関連するＫ理論の研究も決して無駄にはなっていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
蓄積された知見をもとに、引き続き、上で述べた圏の構成を探る。具体的な対策として、同様の問題を共有するＫ理論のクラスを調べることが、有効なステップではないのかと考えている。例えば、そのような圏が持つべき性質として、研究実績として記述した位相的Ｔ双対と矛盾があってはならない。位相的Ｔ双対に関する知見の蓄積により、ありうべき圏の性質として持つべき性質が限定されてくる筈である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当初予定していた研究打ち合わせが次年度に延期されたため、次年度使用額が生じた。
繰り越された次年度使用額については、延期された研究打ち合わせを行うために用いる計画である。それ以外については、当初の計画通りに、研究打ち合わせや成果発表の他、書籍などの物品費等の購入に充てる計画である。
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