2012 Fiscal Year Research-status Report

組み紐理論とフレアー理論を用いた結び目と横断的結び目の研究

Research Project

Project/Area Number	23740053
Research Institution	Yamagata University
Principal Investigator	松田浩山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
Keywords	組み紐
Research Abstract	結び目の立体的な表示方法の1つである橋表示から1方向の幅を測ることによって橋指数が定義されている。この橋指数を2次元的な幅を測ることによって拡張し2橋指数という結び目不変量が定義されていた。 (p,q)型トーラス結び目の2橋指数を昨年度に決定した。今年度はこれを拡張し閉組み紐表示されたとき交代射影図を持つような結び目に対して2橋指数は交点数より2だけ大きいことを示した。ヘガードフレアー理論における横断的結び目の不変量を計算することにより次に挙げる4つの特徴を持つ横断的結び目対S, Tの具体例を構成した：S(4)はSから4回の安定化操作を施して得られる、S(4)とTの位相的結び目型は同じ、S(4)とTの自己絡み数は同じ、S(4)とTの横断的結び目型は異なる。結び目図式の各交点において交点を無くすあらゆる操作を考えその状態和を計算することによりジョーンズ多項式を計算できることがカウフマンにより指摘されていた。これは各交点の周りの2本の弧を使った状態和を計算しているとみなせる。この考えを拡張し各交点の周りの3本の弧を使った状態和を計算しても結び目の不変量を構成できることを示した。来年度の課題として以下の3つに取り組みたい。この不変量をより多くの具体的な結び目について計算する。各交点の周りの4本の弧を使った状態和を計算しても結び目の不変量を得られるかを調べる。ジョーンズ多項式からホバノフホモロジーが定義されたことを真似て各交点の周りの3本の弧を使った状態和の結び目不変量からホバノフ型ホモロジーを構成する。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 結び目フレアーホモロジー群における横断的結び目の不変量を計算することによって、負符号ホップフライプで移り合う閉組み紐対の中に古典的不変量だけでは区別できない横断的結び目の新しい例を具体的に構成することができた。
Strategy for Future Research Activity	昨年度に計画していた修飾数の計算によって横断的結び目の新しい具体例を構成する作業が難航したため、交付決定されていた金額の一部を次年度に使用する予定とした。今後は各交点の周りの4本の弧を使った状態和から結び目不変量を構成できるか、さらにホバノフ型ホモロジーを構成できるかについて調べる。
Expenditure Plans for the Next FY Research Funding	各交点の周りの4本の弧を使った状態和から結び目不変量を構成できるかを調べるためには大きな連立方程式を解く必要がある。この計算のためにより計算速度の速い計算機を購入する。また得られる結果を国内外の研究会で発表するために使用する。