2014 Fiscal Year Annual Research Report
飛躍型確率過程に対するマリアヴァン解析と密度関数についての研究
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23740083
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
竹内 敦司 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30336755)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| Keywords | マリアヴァン解析 / ジャンプ過程 / 確率微分方程式 / 確率関数微分方程式 / 密度関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度である平成26年度は、前年度までの研究に引き続いて、複合ポアソン過程による近似方法に基づいた、ジャンプ型確率過程に対するマリアヴァン解析に重きを置いて研究活動を行ってきた。この方法は、駆動過程であるレヴィ過程を複合ポアソン過程で近似して、近似過程レベルでの直接的な考察から、極限操作を経て部分積分公式を導出する手法である。この手法を用いて、ジャンプ型確率微分方程式の解の分布に対する密度関数の評価や、粒子間の衝突による影響を含んだ、運動論的方程式の一つであるボルツマン方程式の解に対して適用し、大変興味深い研究結果を得ることに成功した。さらに数理ファイナンスにおける株価過程に対する考察（特にグリークス計算）にも適用し、現在研究を進めているところである。
同時に確率関数微分方程式に対する考察も行ってきた。特に解の密度関数についての漸近挙動の精密化に取り組み、ある程度の見通しを持って考察を進めているところである。さらに、反射壁を伴った確率関数微分方程式に対する不変測度の研究も行い、その中で遅れの影響を表すパラメータの役割の明確化にも成功しつつある。
助成期間全体を通じて、ジャンプ型確率過程に対するマリアヴァン解析の研究が大きく進展し、理論的な枠組みの構築に向けた研究の基礎ができた。さらなる発展を目指し、今後も引き続いて研究を行う。また、確率関数微分方程式に関する研究は、ジャンプの影響を伴わないタイプのものを中心に考察してきたが、ジャンプの影響も含めた方程式に対して、前述のマリアヴァン解析の手法が有効に働き、より一層興味深い研究結果が得られるのではないかと考えている。現在、助成期間内で得られた一連の研究結果を取りまとめる作業を行っている最中である。
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