2015 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
23740130
|
|---|
| Research Institution | Waseda University |
|---|
Principal Investigator |
平田 潤 早稲田大学, 理工学術院, 研究員 (10580483)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
|
| Keywords | 変分法 / 楕円型方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
変分的な手法を用いての非線型楕円型方程式の研究を行った。とくに、一般的な非線型項の下での非自明解の存在性および解の挙動や構造の解析に関する研究を行った。
非線型楕円型方程式の解の存在問題では、方程式が空間変数に依存しない場合には、ほとんど必要十分条件に近い形での解の存在定理がすでに知られており、それに基づいた解の構造に関する研究も多く行われている。一方で、方程式が空間変数に依存する場合にはよりデリケートな扱いが必要である。実際に空間変数への微小な依存性の違いで解の存在性が崩れるような例も構成できる。このような違いは、変分的なアプローチの上では、方程式に対応する汎関数が Palais-Smale 条件と呼ばれる条件を満たしているかどうかが大きく関係している。Palais-Smale 条件が崩れている場合、汎関数のより精密な評価が必要になってくるため、既存の研究では方程式の非線型項に対称性や一様な有界性などの大域的な条件を課して研究を行っている。
本研究では、主に空間変数に依存する場合での非自明解の存在定理を研究しており、既存の結果よりもより一般的な状況のもとで非自明解が存在することを示すことに成功した。特に対応する汎関数を評価するときに、ある種の近似解（極限方程式から得られる）同士の重なりの部分に関してより精密な評価を行うことで、非線型に対称性などの大域的な条件を課すことなく非自明解の存在定理を得たことが大きな特徴である。
今年度はさらに応用として特異摂動問題の研究も行い、非線型シュレディンガー方程式のポテンシャルの臨界点に集中するような解の列を構成することにも取り組んだ。特に既存の研究ではあまりなされていない、より一般的な形の非線型楕円型方程式にも同様な解の列を構成することを確かめた。現在これらの研究をまとめ、投稿などができるよう準備を行っている。
|
