2012 Fiscal Year Research-status Report
空間非斉次性をもつ双安定反応拡散方程式系の局在パターンのダイナミクスに関する研究
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23740137
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| Research Institution | Numazu National College of Technology |
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Principal Investigator |
松澤 寛 沼津工業高等専門学校, 教養科, 講師 (80413780)
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 自由境界問題 |
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| Research Abstract |
反応拡散方程式のパターンの伝播に関する研究について，近年外来生物種の侵入のモデルを自由境界問題として定式化しその解の漸近挙動を調べる研究が活発化しつつあり, 進行波を基にした現在までの研究と密接に関連を保ちながら異なる側面を見せている。このことを受け，平成23年度後半にこの自由境界問題とそれに関連する文献調査，情報収集を行った。平成24年度はこの生物外来種の侵略問題に端を発する自由境界問題について取り組んだ。 具体的には，非線形項がロジスティック方程式のみであったこの自由境界問題において，単安定，双安定，燃焼問題に表れる燃焼型と３つのタイプの非線形項に対し，統一的な視点から漸近挙動を調べた研究についての情報を集め, その結果において, 自由境界を表す関数が無限大に発散する場合，自由境界の進行速度(spreading speed)に関する詳しい評価と解の時間無限大での形状が，非線形項のみから定まる関数に近づくことを証明することができた。この研究において，自由境界問題に対応した優解・劣解の構成方法と漸近挙動を詳細に調べるために放物型偏微分方程式の正則性理論を使うことが鍵であった。この研究を行うに当たり，この自由境界問題を専門とする研究者を別予算で長期滞在する機会を得たため，予定を大幅に変更し, 平成24年度に交付された予算を次年度に繰り越すことになった。平成25年度はこの長期滞在中に行った研究において新たに生じた未解決問題に取り組む予定である。具体的には(1)空間多次元(球対称)の問題，(2)２種競争系におけるspreading speedの決定，(3)帯状領域おけるパターンの空間伝播を表すStefan問題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べた通り，近年，外来生物種の侵入のモデルを自由境界問題として定式化しその解の漸近挙動を調べる研究が活発化しつつあり, 進行波を基にした現在までの研究と密接に関連を保ちながら異なる側面を見せていることを受け，別予算でこの自由境界問題を専門とする研究者を長期滞在する機会を得た。そこで，得た結果と今後の方向性について重要な情報を得ることができた。研究の方向性の変更を行ったものの，研究の達成度は概ね順調であると認識している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者が今後，自由境界問題において以下の３点について研究を進めていく予定である。(1)空間多次元で球対称の設定におけるspreading speedの詳細な評価。(2)２種競争系におけるspreading speedの評価。(3)帯状領域におけるパターン伝播を記述するStefan問題の弱解とその漸近挙動。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
平成24年度に自由境界問題で得られた成果をチェコ共和国で開催される国際会議にて発表すると同時に非線形偏微分方程式，特に放物型方程式の時間無限大における漸近挙動を調べる手法に関する情報収集する。今後の研究の方策で述べた問題(1)，(2)自由境界問題を含む非線形放物型方程式を専門的とする研究者を，問題(3)については非線形拡散を伴う放物型偏微分方程式における弱解理論を専門とする研究者をそれぞれ訪問し共同研究を行う予定である。
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