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2012 Fiscal Year Annual Research Report

差集合族とその拡張概念に基づくアダマール行列の新しい構成法の提案

Research Project

Project/Area Number 23840032
Research InstitutionKumamoto University

Principal Investigator

籾原 幸二  熊本大学, 教育学部, 講師 (70613305)

Project Period (FY) 2011-08-24 – 2013-03-31
Keywords差集合 / 差集合族 / アダマール行列 / 有限体 / ガロア環 / 相対ガウス和 / 強正則グラフ
Research Abstract

本研究の目的は, 「差集合族」と呼ばれる組合せ構造の拡張概念を利用したアダマール行列の新たな構成法を提案することであった. 本年度の研究では, 差集合族と呼ばれる組合せ構造およびその一般化した構造を標数が2の冪のガロア環から構成することを試みた. これは先行研究において, 有限体でなされていた研究のガロア環での類似問題といえる. 研究実施計画に基づき, 研究当初に既に得られていたSzekeresの差集合族の構成法の一般化を, Yamada (2012)の標数2の冪のガロア環上の差集合に適用した場合, どのような組合せ構造が得られるかを計算機を援用し調べた. 標数が4の場合には, 新たなパラメータを持つグループ分割型差集合族の無限系列の存在を証明し, 新たなアダマール行列の構成法を提示できた. しかし, より高い標数においては, いくつか興味深い例が計算機によって発見されたものの一般的な証明はできなかった. この部分の結果については, 金沢大学の山田美枝子とともに論文を執筆し, 国際学術誌へ投稿した. このように, 「差集合およびアダマール行列の新たな構成法を提示する」という研究目標は部分的には達成されたが, より高い標数で例を一般化するという問題点が残された.  関連する研究として, アダマール行列の構成問題と密接な関係を持つ強正則グラフと呼ばれる組合せ構造について研究を行った. 特に有限体の相対ガウス和と呼ばれる指標和の計算を行い, 有限体上の強正則グラフの新たな構成法を提案した. 特に, 条件を満たす良い強正則グラフが一つあればそこから無限系列が得られるという再帰的構成法を与えることに成功した. この結果は整数論と組合せ論を結ぶ興味深い結果であると言える. この結果は, European Journal of Combinatoricsという国際学術誌に掲載された.

Current Status of Research Progress
Reason

24年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

24年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (10 results)

All 2013 2012 Other

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (5 results) (of which Invited: 2 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] Strongly regular Cayley graphs, skew Hadamard difference sets, and rationality of relative Gauss sums2013

    • Author(s)
      K. Momihara
    • Journal Title

      European Journal of Combinatorics

      Volume: 34 Pages: 706-723

    • DOI

      10.1016/j.ejc.2012.10.006

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Three-class association schemes from cyclotomy2013

    • Author(s)
      K. Momihara
    • Journal Title

      Journal of Combinatorial Theory, Series A

      Volume: 120 Pages: 1202-1215

    • DOI

      10.1016/j.jcta.2013.03.002

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A decomposition of the 2-design formed by the planes in AG(2n,3)2012

    • Author(s)
      K. Momihara, M. Mishima, M. Jimbo
    • Journal Title

      Finite Fields and Their Applications

      Volume: 18 Pages: 956-970

    • DOI

      10.1016/j.ffa.2012.04.001

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 強正則グラフCay(F_q,D)と相対ガウス和の有理性について

    • Author(s)
      籾原幸二
    • Organizer
      RIMS 研究集会「デザイン、符号、グラフおよびその周辺」
    • Place of Presentation
      京都(京都大学)
    • Invited
  • [Presentation] Strongly regular Cayley graphs and rationality of relative Gauss sums

    • Author(s)
      籾原幸二
    • Organizer
      Combinatorics 2012
    • Place of Presentation
      イタリア(ペルージャ)
  • [Presentation] Lifting construction of strongly regular Cayley graphs in F_q

    • Author(s)
      籾原幸二
    • Organizer
      The 2nd Japan-Taiwan Conference on Combinatorics and its Applications
    • Place of Presentation
      愛知(名古屋大学)
  • [Presentation] Lifting constructions of strongly regular Cayley graphs

    • Author(s)
      籾原幸二
    • Organizer
      研究集会「代数的グラフ理論、スペクトラルグラフ理論および周辺領域」
    • Place of Presentation
      愛知(名古屋大学)
  • [Presentation] Lifting constructions of strongly regular graphs and association schemes in F_q

    • Author(s)
      籾原幸二
    • Organizer
      RIMS 研究集会「有限群とその表現,頂点作用素代数,代数的組合せ論の研究」
    • Place of Presentation
      京都(京都大学)
    • Invited
  • [Remarks] 熊本大学 教育学部数学科 応用数学研究室

    • URL

      http://combin-math-kumamoto.jp/

  • [Remarks] Web page of Koji Momihara

    • URL

      http://www.educ.kumamoto-u.ac.jp/~momihara/

URL: 

Published: 2014-07-24  

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