2023 Fiscal Year Research-status Report
旗多様体の量子K群における構造定数の組合せ論的な記述
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23K03045
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 量子K群 / 半無限旗多様体 / 半無限Schubert多様体 / 量子Grothendieck多項式 / 量子alcove模型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(A) 正の整数 n に対して，S_{n} を n 次対称群 (A_{n-1} 型のワイル群) とする．S_{n+1} において n+1 を固定する置換全体は S_{n} と同型な部分群になる．これによって, \{ S_{n} \}_{n \ge 1} は帰納系になる；S_{\infty} をその帰納極限とする．Cristian Lenart と前野俊昭 (2006) は，特別な形の巡回置換 (\in S_{\infty}) に対応する量子 Grothendieck 多項式と, 一般の元 (\in S_{\infty}) に対応する量子 Grothendieck 多項式の積を, 量子 Grothendieck 多項式の線形結合で展開する (Pieri 鎖を用いた) 組み合わせ論的な公式 (Pieri 型の公式) を予想した. 内藤聡氏との共同研究 (arXiv:2211.01578) において，この公式を証明した．これによって，申請書類の「(4) 本研究で何をどのように, どこまで明らかにしようとするのか」の (i) が完成したことになる．
(B) (A) の続きとして，Pieri 型の公式の同変版に関する研究を行い，いくつかの新たな予想をたてた．これは，申請書類の「(4) 本研究で何をどのように, どこまで明らかにしようとするのか」の (iv) に関連する．
(C) \mathfrak{g} を A_{n} 型の有限次元単純リー代数とし,Fl_{n+1} を旗多様体とする．前野氏，内藤氏との共同研究 (arXiv:2302.09485) によって， 旗多様体の（小さい）同変量子K環 QK_{H}(Fl_{n+1}) をある多変数多項式環の剰余環として明示的に記述した．また，同じく前野氏，内藤氏との共同研究 (arXiv:2305.17685) で，前述の同型対応のもとで，量子ダブル Grothendieck 多項式 (\in 多変数多項式環) が，Schubert 類 (\in QK_{H}(Fl_{n+1}) を代表することを証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書類の「(4) 本研究で何をどのように, どこまで明らかにしようとするのか」の (i) は完成した．また，同 (iv) についても，A型の場合は予想ができた (研究実績の概要 (B))．前野氏，内藤氏との共同研究 (arXiv:2305.17685) において，ワイル群の最長元に関する半無限 Schubert 多様体の構造層のクラス [w_{\circ}] を，基本ウェイトのワイル群軌道に含まれる整ウェイトに付随する線束 [\mu] (\mu \in \{ w\varpi_{i} \mid w \in W, 1 \le i \le n \})のクラスの\mathbb{Z}[P]-線形結合で展開する公式を得た．この公式は，同 (ii) や (iv) に応用できることが期待される．以上のことから，当該研究は「おおむね順調に進展している」と考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和６年度は，研究実績の概要 (B) で述べた同変版の予想を解決することを目標とする．また，前野氏，内藤氏との共同研究で得た「ワイル群の最長元に関する半無限 Schubert 多様体の構造層のクラスを，基本ウェイトのワイル群軌道に含まれる整ウェイトに付随する線束のクラスの\mathbb{Z}[P]-線形結合で展開する公式」と Lenart-内藤-佐垣による Chevalley 型の公式を用いて，[w_{\circ}] と，一般のワイル群の元 w \in W に付随した半無限 Schubert 多様体の構造層のクラス [w] との積の展開公式を得ることを目標とする．さらに，[s_{\theta}] (\theta は最高ルート) と [w] (w \in W) の積の展開公式についても，研究実績の概要 (C) の結果を用いるなどして，研究を行う．
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| Causes of Carryover |
令和５年度は学類長（学科長）の仕事が予想以上に多忙であり，出張等が十分に行えなかった．令和６年度は，国内外の出張に加えて，６月末に当該研究に深く関連する国際研究集会を主催する予定であり，研究集会への研究者招聘等にも予算を使用する予定である．
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