2023 Fiscal Year Research-status Report
クラスター代数の組合せ的表現論および可積分系への応用
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23K03048
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30431901)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Keywords | クラスター代数 / 量子クラスター代数 / 四面体方程式 / 3次元反射方程式 / 量子群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
クラスター代数の離散可積分系と表現論への応用に関して，四面体方程式および3次元反射方程式という3次元の可積分性に関連する大きな進展があった．Sun氏と八木氏は，A3型のワイル群の最長元にtriangle，square，butterflyという3種類の箙を配置し，量子クラスター代数を用いて四面体方程式の解を構成する方法を2022年に提唱した．本研究ではこれを発展させ，国場敦夫氏，寺嶋侑二氏との共同研究でFock-Goncharov（FG）箙（triangle箙の類似）とsquare箙の場合に，量子y変数をqワイル代数で表すことにより，四面体方程式の解をある作用素Rの随伴作用として表すことに成功した．またC3型のFG箙を用い，作用素Rに加えてKを構成することによって3次元反射方程式の解を構成した．さらにSun氏と八木氏も加わった共同研究では，対称butterfly箙の場合に同様の結果を得た．いずれの場合もqワイル代数の表現（無限次元）を使って作用素Rを表示するなどの方法で，既に知られている幾つかの解との関係が分かり，これまで個々に構成されてきた四面体方程式の解を量子クラスター代数の側面から統一的に理解できるようになった．またFG箙に対して構成した作用素Kは我々の知る範囲では新しい解である．
この研究成果について，2023年9月に京都大学数理解析研究所で開催された研究集会「可積分系数理における最近の展開」，および2023年12月に名古屋大学で開催された研究集会「Advances in Cluster Algebras 2024」にて招待講演を行った．また2024年3月に大阪公立大学で開催された日本数学会年会にて「量子クラスター代数と3次元可積分性」と題した一般講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
COVID19による規制がほぼ完全に撤廃され、国内外での研究集会出席、研究打合せを予定どおり実施し、様々な情報収集と議論を行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，クラスター代数の表現論と離散可積分系への応用に関する以下の研究を進める予定である．
(1) 3次元反射方程式の解を対称butterfly箙の場合に考察する．対称butterfly箙の場合は変異列のトロピカル符号の状況がFG箙のときとは異なっており，単項式変換と全体の変換がともに3次元方程式を満たすためには変異列の「よい符号」を選ぶ必要があるため，さらなる考察が必要である．
(2) ネットワークの理論の非可換化について：非可換変数によるネットワーク構成を考察し，クラスター代数の新しい非可換化を構成する．さらに，ネットワークに付随する様々な組み合わせ的な模型の非可換化，幾何クリスタルの非可換化など様々な関連する問題を考える．
(3) ワイル群のクラスター代数による実現の応用：2020年に新しく構成した任意の有限次元単純Lie環のワイル群のクラスター実現について，有限次元単純Lie環がA型のときに知られている離散可積分系の研究を，他のLie環の場合に一般化する方法を考察する．表現論と幾何学の両方に深く関係するFG箙についても可積分系への応用を考察する．
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| Causes of Carryover |
招待講演で先方から旅費の補助があったため，旅費の支出が無かった．
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