2024 Fiscal Year Research-status Report
Geometric aspects of the free-fermion and the non-commutative Schur functions
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23K03056
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
岩尾 慎介 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (70634989)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | ボゾン・フェルミオン対応 / 量子コホモロジー / 量子K理論 / 対称関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2024年度では、以下の内容の研究活動を行った: (i)論文「Tetrahedron equation and Schur functions」（茂木康平氏（東京海洋大学）、大川領氏（京都大学）との共著）において、「四面体方程式」と呼ばれる、3次元空間内の物理モデルを記述する方程式を考察した。その結果、四面体方程式の特別な解を得ることに成功した。一般に、3次元空間の物理モデルを解くのはとても難しいが、量子力学的な作用素を使って方程式を整理することで、あたかも「3次元パズル」を解くかのように方程式を解くことができる。（もちろん、その3次元パズル自体も簡単なものではない。）このような考察をすることで、「シューア関数」と呼ばれるよく知られた関数を組み合わせて、四面体方程式の特殊解が構成できることを証明した。(ii) 昨年度に出版された論文「Closed k-Schur Katalan functions as K-homology Schubert representatives of the affine Grassmannian」の内容を発展させ、「旗多様体」という重要な多様体の形状を計算する研究を行った。多様体の形状を計算する数学理論には様々なものがあるが、ここでは代数幾何学の手法を用いる「K理論」に着目した。K理論は、足し算と掛け算のできる「環」と呼ばれる構造を持っており、環の生成元と関係式を調べることが、多様体の形状の解明につながると期待される。本研究では、旗多様体のK理論を生成する対称関数「k-Kシューア関数」に注目し、その行列式による明示公式を得ることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、旗多様体のK理論の構造を明らかにする「k-Kシューア関数」の行列式による明示公式を得るなど、すぐれた進展があった。当該結果は論文としてまとめられ、現在海外論文誌に投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度の結果を発展させて、以下の内容に取り組む予定である。(i) 別タイプの旗多様体への拡張。2024年度の結果は、最も基本的である「タイプAの旗多様体」を取り扱ったものである。一方、タイプB, タイプCの旗多様体も計算可能な構造を持っていることが知られており、これらの旗多様体にも本研究の結果が適用できると期待される。(ii) 可積分系との関係。旗多様体のK理論は、可積分系方程式の一つである「相対論的戸田方程式」とつながりを持っていることが知られている。この関係を利用することで、旗多様体の構造計算を効率的に進めることができるようになると、期待される。
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