2023 Fiscal Year Research-status Report
乗法的単位元を持たない可換環を用いたalmost数学のスキーム及びホモトピー理論の確立
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23K03080
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| Research Institution | Ube National College of Technology |
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Principal Investigator |
加藤 裕基 宇部工業高等専門学校, 一般科, 准教授 (50707130)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | Almost数学 / Smithイデアル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Hovey, White及びYauの導入したオペラディックSmithイデアルの理論を用いて対称モノイダル安定モデル圏で「べき等Smithイデアル」を定義することでalmost数学の定式化を行いQuillenのノートの結果である「安定対称モノイダル・モデル圏のBousfield両局所化(局所化かつ余局所化)とべき等Smithイデアルの1対1対応」の対称モノイダル・モデル圏類似の証明した. また，オペラディックSmithイデアル理論を用いて安定対称モノイダル・モデル圏でオペラディック非単位的代数とオーグメント・オペラディック代数のなす弱モデル圏の間にQuillen同値が導出できることを示した. 得られた研究結果は九州大学で行われた九州代数的整数論2024にて講演を行った. 現地の研究者との議論の結果，almost数学が混標数の数論幾何学にどのように寄与するかどうか, あるいはalmost数学から元の状態を復元させることができるかどうかに関心が寄せられていることがわかった.
対称モノイダルモデル圏のSmithイデアルの理論を用いてGoodwillie微積分をより明示的に定式化を着想してSmithイデアル理論を用いた環の完備化とそのalmost数学類似の結果, almost有限生成イデアルによるalmost完備化の完備性を示した. 得られた結果はべき零完備化としてarxivに公開している. またモデル圏のべき零Smithイデアル理論の応用により完備化の理論をA^1-ホモトピー理論に拡張して代数的コボルディズムを代数的K-理論でテイラー近似する理論を構成し, Bott周期性と剛性などを持つことを示した. 構築したべき零近似理論とGoodwillie微積分の理論の比較可能性について関心が寄せられた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は計画年度よりも予定していた部分以上が進行している. また，Smithイデアル理論によるべき零完備化は計画にはない研究結果である．しかしながら研究発表が1回しか行えておらず，Almost数学とSmithイデアル理論の周知活動が十分にできていない.
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| Strategy for Future Research Activity |
研究結果をウェブ上に公開するだけでは周知が不十分であると感じたので今年度は海外も含めて発表の回数を3回以上行うようにする. 研究集会等で「almost数学の混標数の代数幾何学に対する寄与」を期待する声があったことを受けてalomost数学では潰れされてしまうalmost零部分を精密に研究する予定である. また，almost部分とalmost零部分からもとの理論を復元させる理論を構築する. また，今年度はalsmost線型代数の論文の公開を優先的に進める予定である.
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| Causes of Carryover |
円高による海外出張旅費の高騰により今年度の国際研究集会の発表を見送ったため, 海外での講演を後ろ倒しを計画している.
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