Geometric analysis on graphs with Ricci curvature bounded from below

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23K03103
• Research Institution: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
• Principal Investigator: 小澤 龍ノ介 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 講師 (80838110)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2028-03-31
• Keywords: リッチ曲率 / グラフ / 最適輸送理論 / マルコフ連鎖 / 熱核

Outline of Annual Research Achievements

本年度は辺重みを持つ局所有限な有向グラフにおけるLin--Lu--Yau型のリッチ曲率を導入するための研究を山田大貴氏(島根大)と行なった。本研究では頂点数が可算無限な場合のみを扱う。グラフの辺重みが正再帰的なマルコフ連鎖とみなせる場合にLin--Lu--Yau型のリッチ曲率を導入した。Chungによる有向グラフ上のラプラシアンを用いて、WojciechowskiとWeberによる無向グラフ上の熱核の性質とMunch--Wojciechowskiによる無向グラフにおける幾何解析的な性質が局所有限な有向グラフで同じく成り立つかを調べた。現時点では熱核の存在、リッチ曲率のラプラシアンと離散勾配を用いた表示、リッチ曲率の下限の熱半群を用いた特徴付け、グラフの直積のリッチ曲率の公式が得られた。具体例として反射壁をもつような1次元ランダムウォークのリッチ曲率の計算も行なった。また辺重み正再帰性の条件を緩めた場合にもリッチ曲率を導入することはできており、曲率の下限条件から熱核の確率完備性が得られるのではないかと考え目下研究を続けている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本年度は論文執筆までは至らなかったためこの区分とした。

Strategy for Future Research Activity

局所有限な有向グラフのLin--Lu--Yau型リッチ曲率に関わる幾何解析的な性質について調べる。特に無限グラフ特有の性質を得ることを目標としたい。またψ型曲率次元条件に対してポアンカレの不等式が成り立つのかなども調べるつもりである。

Causes of Carryover

打ち合わせのための出張旅費のため経費が足りなくなりそうになり、物品購入を控えたため。次年度はより計画的に使用したい。