2023 Fiscal Year Research-status Report
Analysis on delta function type singularities in nonlinear heat equations
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23K03161
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| Research Institution | Akita University |
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Principal Investigator |
原田 潤一 秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (00580169)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 非線形熱方程式 / 解の爆発問題 / デルタ関数型の特異点 / 爆発解の分類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
臨界型偏微分方程式では、質量やエネルギーなどの集中現象が起こる。この集中現象は、熱方程式、波動方程式やシュレディンガー方程式など様々な型の方程式で観測される（予想される）。集中現象はそのバリエーションが多く、現象そのものが面白い。その機構を理解することが本研究の目的である。また集中現象を起こす爆発解は、方程式の解全体からなる集合の中で特別な位置を占めることが知られており、方程式の大域的ダイナミクスの決定において重要な役割を担っている。コロット・メルル・ラファエル先生（２０１７年）は、非線形熱方程式の集中現象について、空間７次元以上の場合に分類定理を証明している。彼らの結果は、空間高次元の方が、現象が単純化されるということを示唆するものである（本当はそうではない）。今年度の成果はその空間６次元版に相当するものである。空間６次元と７次元の間に境目があることは以前から予想されていたが、それを明らかにすることができた。方程式の性質から、空間次元が低いほど注目する定常解の空間減衰が悪くなるため、それに起因して、空間７次元以上の場合と比べ、余計な仮定が必要になった。しかし、解空間全体の大域的な情報を引き出すためにはこれでも十分であると考える。熱方程式の空間６次元は、状況が特殊であることがこれまでの蓄積で示唆されていたが、分類という視点では、空間７次元以上に類似していることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画では、多重爆発問題の調査を予定していたが、まだその前段階である。前段階として、「研究実績の概要」に述べた内容に取り組んだ。臨界型方程式では、解の空間減衰が方程式のダイナミクスの決定において重要な役割という法則をみつけた。この法則は、多重爆発問題の解析に活かせるのではないかと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
空間６次元非線形熱方程式の分類問題について、昨年度までの結果では、解の球対称性という強い適用条件を課していたため、これを外すことから始めてる。これと並行して、タイプＩ型爆発の解の安定性解析についても、同様に球対称性の仮定を外す手法を模索する。両問題とも類似した点があるため、片方ができればもう片方も同時に解決すると思われる。
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