2023 Fiscal Year Research-status Report
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23K03163
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
伊藤 健一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90512509)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 数理物理学 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度には主に，無限遠方でゆっくりと減衰する引力ポテンシャルを持つSchrodinger作用素を研究した．対応する古典力学系の性質から，0以上のすべてのエネルギーにおいて量子力学的粒子は散乱することが期待され，それを実証する形で，Rellichの定理，極限吸収原理，放射条件評価，Sommerfeldの一意性定理を得た．一般にエネルギー0周りでのSchrodinger作用素の解析は難しく，これまでの先行研究では超局所解析学の手法を改良をして適用するのが定石であった．本研究では，超局所解析学的手法の代わりに，研究代表者自身の考案した交換子法を適用する点が新しい．この交換子法は長い計算を必要とするが，その代わり初等的式変形のみで閉じており，これにより特に，ポテンシャルに対する滑らかさの仮定を自然な形にまで緩めることができた．また，得られた評価はエネルギー0周りで一様である．このような一様評価を得るには，対応する古典力学系の特徴を反映した適切なエスケープ関数を，エネルギーに依存する形で構成し，それに応じて，エネルギーに依存する関数空間を導入することが重要な鍵となる．この関数空間はエネルギー0において重みの次数が不連続に変化する特徴を持つ．以上の結果は，それら自身が興味の対象であるだけでなく，定常散乱理論を論じるための重要なステップにもなっている．散乱行列のエネルギー0における挙動には重要な情報が含まれているため，今後の応用が期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
いくつかの本質的な研究成果が得られてたと考えているが，論文として公表するには，やや不十分であり，もう少し議論を詰め，適切な応用を提示する必要があると考えている．そのため，現在の進捗状況はやや遅れていると判断される．
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度に得られた結果をなるべく早く公表し，次の研究課題に取り組むように努める予定である．
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