| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は学術論文14本が当該研究分野の権威のある査読付き国際誌及び国際会議に採録が確定したので, ある程度順調に研究が進展していると言える. 以下いくつかの研究の進捗状況を述べる. Besov空間上の合成作用素の有界性に関する研究(空間1次元かつ1<s<1+1/p, s:微分指数)は, 権威ある国際紙Math. Annに採録された. シフト写像から定まる記号力学系のPerron-Frobenius作用素は, 一般に連続スペクトルを持つが, そのような状況の中で, 適切なGelfant tripletsを定めて, 一般化スペクトルを導出したことは, 当該分野に革新的な前進があったと言える. 長距離型の線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の研究は, 短距離型のポテンシャルを持つ場合より, 困難である. その中で, 基底状態未満の初期値を持つ解の時間挙動を決定したことは大きな前進があった. 星型グラフ上のシュレディンガー方程式において, 凝集コンパクト性定理の成立は長年の懸念であった. その中で, それを示したことは, 革新的な前進であった. 空間1次元上の質量臨界シュレディンガー方程式に対して解の爆発の汎用的な証明を与えたことは成果があった. Hardy-Henon型拡散方程式に対する無条件一意性の研究は, 権威ある国際紙Math. Annに採録が確定していることから分かるように, この分野にブレークスルーをもたらした. 特に, 重み付きLorentz空間に関する調和解析的な部分も明らかにしていることは特筆すべき点である. 測度距離空間上の非線形消散型波動方程式の研究は, その自己共役作用素が, 種々の楕円型作用素を包含しており, 非常に汎用性のある結果となった.
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の研究の今後の進め方は以下である. Besov空間上の合成作用素の有界性に関する研究は, 高次元の場合と微分指数がその他の未解決な場合を研究する. シフト写像から定まる記号力学系のPerron-Frobenius作用素に関する研究は, 扱われていなかった有限型シフトの場合を研究する. 長距離型の線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の研究は, 基底状態以上の初期値に関する解の時間挙動に関する研究を行う. 星型グラフ上の非線形シュレディンガー方程式の研究においても, 基底状態以上の初期値に関する解の時間挙動に関する研究を行う. Hardy-Henon型拡散方程式に関する研究は, 重み付きルベーグ空間の枠組みでは捉えることのできないデータに関する解の性質を明らかにする. また我々の用いた重み付きLorentz空間とその他の重み付きLorentz空間の関係性を明らかにする. 測度距離空間上の非線形消散型波動方程式に関する研究は, より汎用性のある時間減衰評価を導出することが次の目標である. いずれの課題も当該研究分野において, 非常に意義のある課題である.
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