2023 Fiscal Year Research-status Report
The research on the stability of the density functions for the existence probability of orbits
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23K03185
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
鷲見 直哉 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (50301411)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 解析学 / 力学系 / エルゴード理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度が一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．特に本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．
更に，本研究の応用として，次の結果(3)を導く．(3) 稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば, いくらでも小さな摂動を加えることにより，性質(1)と(2)を安定的に満たすようにできる．
(1)に関連して，拡大性と明記性を持つ力学系に対して軌道の存在確率密度の一意性を調べた．拡大性と明記性を満たす位相力学系は，許容的な連続関数に対して平衡状態と呼ばれる不変確率測度をただ一つ持つことが知られている．しかし，平衡状態は軌道の存在確率密度と一致するとは限らず，それゆえその一意性もわかっていない.
双曲型測度は，Katokの定理によって双曲型集合により近似することができる．明記性を仮定すると，この双曲型集合の全ての安定多様体と別の双曲型測度によって構成される周期点の不安定多様体をつなぐことができるため，安定多様体によるホロノミー写像が定義できる．このとき，更に拡大性を仮定すると，このホロノミー写像を双曲型集合の近傍に拡張できることがわかった．ホロノミー写像に関するこの性質により，安定多様体と不安定多様体が位相横断的に交わることが期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度の研究では，性質(1)の証明を目指したが，目標を達成できなかったため．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べた局所的条件から，大域的性質(1)と(2)を導くことを次年度の目標とする．(1)については，拡大性と明記性をもつアトラクターに対して，存在確率密度の一意性を示す．(2)については，強横断性を満たす公理A力学系に対して，有限時間での軌道の存在 確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差を評価する．
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| Causes of Carryover |
令和5年度に計画されていた研究集会の多くは新型コロナウィルスの影響でハイブリッドでの開催となり，計画されていた出張が中止となった。また、対面の研究集会に出席した際に新型コロナウィルスに罹患してしまい、研究打ち合わせを延期せざる得なくなってしまったため，次年度使用額が生じてしまった．次年度は，各研究集会に出席し研究打ち合わせを再開する予定である．
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