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2023 Fiscal Year Research-status Report

実簡約リー群の表現の分岐則とルート系

Research Project

Project/Area Number 23K12963
Research InstitutionWaseda University

Principal Investigator

北川 宜稔  早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 講師(任期付) (00804593)

Project Period (FY) 2023-04-01 – 2025-03-31
Keywordsリー群 / 表現論 / 分岐則 / 球多様体 / ルート系
Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、実簡約リー群の分岐則に現れる絡作用素(対称性破れ作用素)がどのようなルート系で統制されるかを明らかにすることである。特に、一般的な設定におけるルート系の定義と基本的な命題の証明、正則離散系列表現と呼ばれる特別な表現のクラスにおける具体的な記述を目標としている。対称性破れ作用素は、既存研究において具体的な場合で多くの計算がなされているが、既知の関数(超幾何関数など)で表される場合と、そうでない場合があり、そのような現象に対して抽象論により理由付けを考える。
本年度では、 M. Brion と F. Knop によって定義されたG多様体のルート系を利用して、G球多様体とそのG部分多様体に対するルート系の定義を一般的な設定で与え、正則離散系列表現の設定かつ古典群の場合に具体的な計算を行った。G多様体のルート系と、G部分多様体の余接ベクトル束のルート系の差を考えることで、新たなルート系を定義した。また、既存研究における対称性破れ作用素のケースバイケースでの計算と整合性のあるルート系が得られていることを確認した。その結果として、対称性破れ作用素が normal derivative と呼ばれる最も簡単な形になる場合と、ルート系が消滅する場合が同値であることを確かめた。これらにより、新たに定義されたルート系は対称性破れ作用素の情報を十分反映していると考えられる。
具体的な計算において、新たに定義したルート系のカルタン部分群がG多様体の軌道と関係していることがわかり、来年度の研究のための重要な観測が得られた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

計画では、本年度はルート系の定義を行い、正則離散系列表現かつ古典群の場合の具体的な計算を行い、計画当初に立てた予想が妥当であることを確かめることを目標としていた。
研究実績の概要で述べた通りこれらの目標は達成できたため、おおむね順調に進展していると判断した。

Strategy for Future Research Activity

当初の予定通り、正則離散系列表現かつ例外型の場合を確かめ、正則離散系列の対称部分群への制限の場合に計画当初に立てた予想を計算により証明する。現在のルート系の構成ではG多様体そのものから直接得られたものではないため、微分方程式との関係を記述することが困難になっている。そのため、ルート系やカルタン部分群をG多様体から幾何的に直接構成し、実用上使いやすい形にする。

Causes of Carryover

京都大学数理解析研究所において開催された研究集会「表現論とその周辺分野における最近の進展」に参加予定であったが、体調不良のため参加できなかったことが原因である。本年度の国内・海外出張での情報収集および研究発表に使用する予定である。

  • Research Products

    (3 results)

All 2023

All Journal Article (1 results) (of which Open Access: 1 results) Presentation (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] A root system for a pair of G-varieties and symmetry breaking operators2023

    • Author(s)
      北川 宜稔
    • Journal Title

      2023年度表現論シンポジウム 講演集

      Volume: 1 Pages: 103-110

    • Open Access
  • [Presentation] A root system for G-varieties and symmetry breaking operators2023

    • Author(s)
      北川 宜稔
    • Organizer
      7th Tunisian-Japanese Conference "Geometric and Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Applications" in Honor of Professor Toshiyuki Kobayashi
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A root system for a pair of G-varieties and symmetry breaking operators2023

    • Author(s)
      北川 宜稔
    • Organizer
      2023年度表現論シンポジウム

URL: 

Published: 2024-12-25  

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