2023 Fiscal Year Research-status Report
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23K12967
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
櫻井 陽平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (90907958)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| Keywords | 優Ricci流 / 平均曲率流 / 重み付きRicci曲率 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は主に國川慶太氏（徳島大学）と共同で優Ricci流（Ricci流の優解）に関する研究を行った．最近Bamlerは高次元Ricci流の特異モデルを記述するという動機から，Ricci流に対する新たな収束理論を確立した．まず彼はRicci流をより広い観点から研究する枠組みとしてmetric flow，さらにその列に対するF収束という概念を導入した．そして優Ricci流の列に対するプレコンパクト性定理を示し，非崩壊Ricci流の列のF極限空間の正則性を明らかにした．これはRicci極限空間（Ricci曲率が下に有界なRiemann多様体の列のGromov-Hausdorff極限空間）の構造理論の時間依存版，ならびに平均曲率流（Brakke流）に対する収束理論の内在版としての側面を持っている．我々はRicci流に限らず，より一般の優Ricci流の列のF極限空間の正則性を明らかにすることを目標とした．Bamlerによる正則性理論では，Nashエントロピーと呼ばれる単調量に関する概剛性が鍵となる．我々は彼の概剛性を優Ricci流でありかつMullerにより導入されたとある量が非負であるものに対して拡張した．この対象は我々の先行研究で既に扱っていたものであり，調和写像流との混合流やLorentz多様体内の平均曲率流などを例として含んでいる．これらの成果を論文に纏め，一旦arXivに公開した．その後，筑波大学でこの話題に関する集中講義を行ったが，準備段階で多くの知見を得ることが出来た．現在はそれを反映させる形で論文を修正中である．
他にも國川氏と共同で余次元の高いself shrinker（平均曲率流の自己相似解の一種）に対するMorse指数評価や藤谷恭明（大阪大学）と共同で重み付きRicci曲率で次元パラメーターが0のものに関する研究を行った．これらも論文を準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
幾何解析の様々な話題について，それぞれ一定の研究結果が得られたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは当該年度に得られた研究成果を論文に纏め，査読付き学術誌に投稿することが目標である．
我々は以前Ricci流の古代解に沿う熱方程式の解に対してLiouville定理を得ていたが，それをColding-Minicozzi型のLiouville性質にまで拡張できるかは懸案事項であった．Bamlerによる最近の進展を学んだことにより，この問題にアプローチ出来る可能性が出てきておりそれを検証する．またBamlerの理論についても引き続き理解を深めつつ，適当な問題を立てて解決していく．
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