2023 Fiscal Year Research-status Report

最適制御問題の数値解析におけるミクロな粒子系の有用性の解明

Research Project

Project/Area Number	23K19017
Research Institution	Waseda University
Principal Investigator	渡辺樹早稲田大学, 理工学術院, 助教 (70979616)
Project Period (FY)	2023-08-31 – 2025-03-31
Keywords	確率制御 / 流体極限 / ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 / 粘性解
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、最適制御問題の解法の一つであるハミルトン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式の数値解法として、粒子系と呼ばれる連続時間マルコフ連鎖の有用性を明らかにすることを目指す. これまで行われていた倒産問題などに応用可能な吸収壁をもつモデルに現れるHJB方程式の解析に対して, 本研究では実社会によく現れる生物モデルや待ち行列などの反射壁を持つモデルに対する同様な解析を行うことで, 反射壁をもつ粒子系の制御問題のある種の極限としてノイマン境界値条件付きHJB方程式が導出可能であることを粘性解の理論を用いることで明らかにした. 具体的には反射壁を持つモデルの値関数が満たす差分型のHJB方程式を導出し, 粘性解の安定性解析を行うことで, 値関数の極限がノイマン境界値条件付きHJB方程式の粘性解であることを示した. 本結果は現在, 査読付き国際誌への投稿向けて準備中である.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 反射壁の場合は吸収壁における解析とは異なり, 境界での振る舞いを精密に解析する必要があった. そこでテスト関数に修正項を加えることで境界上での解析を内点の場合と同様に扱うという粘性解特有の議論を用いることで, 当初予定していた反射壁をもつ粒子系を用いてノイマン境界条件を持つHJB方程式の近似解析に成功した. これは今後のより複雑な境界条件下での解析にも応用可能なものであることが期待される. 上記の理由から本研究は概ね計画通りに進んでいると言える.
Strategy for Future Research Activity	今後はより複雑な境界条件, 特に非線形ノイマン境界条件を持つHJB方程式の数値解析に取り組む. この方程式は優先権のある待ち行列の制御問題に現れることが示唆されている. これは人の数は負の値を取らないという通常の反射壁に加えて, 優先権を持つ人がいるかどうかで挙動が変わるというもう一つの反射壁を持つと考えることができる. そこでまずはそのようなモデルの連続極限, つまり客数を無限大した時の極限が満たす方程式を明らかにすることを目指す. その後, 粘性解の安定性解析とこれまでの通常の反射壁の場合の知見を基に, 上述のモデルの制御問題の極限として非線形ノイマン境界条件を持つHJB方程式が導出可能であることを明らかにする.
Causes of Carryover	国際会議での発表のための出張費や論文執筆のための電子機器購入などを予定していたが, 研究成果が得られた時期が予定より遅れたため, 上記の支出が発生しなかった. 次年度に予定通り出張費や論文執筆準備費用としての使用を予定している.