2020 Fiscal Year Annual Research Report
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20H01790
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | エタールコホモロジー / 分岐理論 / 無限圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はBivariantホモロジー理論の無限強化を行った。目標としている特性サイクルのホモトピー論的な定義にあたりモチビックコホモロジーを含むようなBivariantホモロジー理論が必要である。6つの関手の枠組みはすでにGaitsgory-Rozenblyumで為されているので、哲学的にはそこから出てくるはずである。ところが無限圏の枠組みの中で行わなくてはならないのでこの作業はかなり難解である。
一般的に十分に良いコホモロジー理論があればそれに双対をなすようなホモロジー理論も存在していて、滑らかな射の時は一致しているなど様々な関係を満たしている。この二つを包含する形の公理はFulton-MacPhersonにより公理化されており、Bivariantホモロジー理論と呼ばれている。6つの関手の枠組みがあれば簡単な計算でBivariantホモロジー理論が定義されることがわかる。我々の目的のためにはBivariantホモロジー論の中で降下などを行いたいので、この理論を無限強化する必要が出てくる。一番最初に思いつく方法は6つの関手の枠組みを無限強化し、それからBivariantホモロジー理論の強化を出すというものである。Gaitsgory-Rozenblyumによれば6つの関手の枠組み化強化ができる。この枠組みには必要なすべての情報が含まれていると考えられているが、その含まれ方は極めて複雑である。例えばこの枠組みはただの無限圏ではなく、（無限, 2）圏と呼ばれる枠組みで書かれており、無限圏ですらない。本年度はこの（無限，2）圏からBivariantホモロジー理論を取り出すことをし、論文にまとめた。そもそもしっかり描かれている文献が少ないなどの問題もあり、予想より時間がかかった。来年度はこれを使っていよいよ特性サイクルの構成を行う予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度行ったBivariant homologyの無限化は、基礎理論の構築でもあり地味ではあるが、分岐理論をホモトピー論的に見直すという研究計画において通らざるを得ない。GaitsgoryとRozenblyumによってすでに6つの関手の枠組みが（無限、2）圏を用いて定式化されていたので、当初はこの部分は簡単に処理できるものと思っていた。しかし研究を行っていくに従い、自明でないことが判明し、今年度の研究に至る。無限圏を使い特性サイクルを構成することを今年度にできなかったことは残念であるが、Bivariant homologyを無限化するという技術的な結果を出すことができ、順調に進んでいると評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず計画の全体像を思い出しておく。Xを正標数体上の多様体とし、その上のエタール構成可能層をFとする。斎藤によりFの特性サイクルと呼ばれる普遍量が定義され、それが押し出しと両立すると予想された。Fの特性サイクルを構成するために斎藤はX上の「テスト関数」fを固定し、近接隣体を用いることによりX上の0サイクルを構成するのが第1ステップである。この時0サイクルは任意の関数fに対して定まるわけではなく、Fに対して「孤立特異的」という良い性質を満たす関数に対してのみ定義される。孤立特異的な関数が十分な量持つことは深い事実であり、Beilinsonによる特異台の存在によっている。
さて，押し出し公式を示そうと思ったとき最も難しいのは必ずしも孤立特異的ではない関数も相手にする必要性に迫られることにある。本研究では孤立特異でない関数があった場合2つ目の関数を考え同じような操作をすることにより、最終的に0サイクルを構成するといういわば「孤立特異関数列」を考えるという新しいアイディアで研究を進めてきた。初めに問題になってくることはこの関数列が有限列にとれるかという問題であり、これに関してはp進コホモロジー理論の基本定理の一つであるKedlayaによる準安定還元定理の証明手法を用いることにより有限列にとれることを示していた。
来年度はこの関数列を用いて特性サイクルを再定義することを考える。そのためには今年度構成したBivariant homologyの無限化を用いコホモロジーの元を貼り合わせる計画である。順調に進み特性サイクルのホモトピー論的な再定義ができた場合は押し出し公式に関しても考察を進めていきたい。
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