2021 Fiscal Year Annual Research Report
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20H01791
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50153804)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / 相互層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたのがVoevodsky（2002年フィールズ賞受賞）である．Voevodskyの理論ではアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった．しかしこれは応用上本質的な制約となる．代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，上記の不変量や現象をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyのモチーフの理論で中核的役割をはたす「ホモトピー不変性層」を拡張する「相互層」を新たに導入した．本年度の成果は相互層の分岐理論への応用である．相互層の理論により，正標数における階数1のエタール層の暴分岐や，標数0における階数1の可積分接続の非正則な特異点をモチーフ理論的に捉えることが可能になった．相互層Fと体k上分離的滑らかなスキームUにたいし, k上の分離的スキームXとその上のカルティエ因子DでU=X-Dなるものの組(X, D)をパラメーターとするF(U)上のフィルトレーションF(X,D)⊂F(U) が定義される．F(U)がUのアーベル基本群の指標全体のなす群の場合は，このフィルトレーションは加藤-松田が定義したArtin導手を復元する．kの標数が0でF(U)がU上の階数1の接続全体の為す群の場合は，このフィルトレーションは接続の不正則数を復元する．これらの結果によりこのフィルトレーションは「相互層Fにたいするモチーフ論的分岐フィルトレーション」と呼ばれる．さらにモチーフ論的分岐フィルトレーションにたいし Zariski-Nagata型の純粋性定理を示した．またAbbes-Saitoの分岐理論の方法により定義される別のフィルトレーションと一致することも示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
相互層の分岐理論への応用を与えることに成功した．これにより相互層の理論を使って，正標数における階数1のエタール層の暴分岐や，標数0における階数1の可積分接続の非正則な特異点をモチーフ理論的に捉えることが可能になった．相互層Fと体k上分離的滑らかなスキームUにたいし, k上の分離的スキームXとその上のカルティエ因子DでU=X-Dなるものの組(X, D)をパラメーターとするF(U)上のフィルトレーションF(X,D)⊂F(U) が定義される．F(U)がUのアーベル基本群の指標全体のなす群の場合は，このフィルトレーションは加藤-松田が定義したArtin導手を復元する．kの標数が0でF(U)がU上の階数1の接続全体の為す群の場合は，このフィルトレーションは接続の不正則数を復元する．これらの結果によりこのフィルトレーションは「相互層Fにたいするモチーフ論的分岐フィルトレーション」と呼ばれる．さらにモチーフ論的分岐フィルトレーションにたいし Zariski-Nagata型の純粋性定理を示した．またAbbes-Saitoの分岐理論の方法により定義される別のフィルトレーションと一致することも示した．
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| Strategy for Future Research Activity |
Voevodskyの理論を拡張するための別のアプローチとして，Binda, ParkとOstvaerによる対数的モチーフの三角圏 lDM の構築が進んでいる．今後の推進方策として，相互層の理論と対数的モチーフ理論との関係を調べることを目標とする．具体的な目標としては，相互層FのNisnevichコホモロジーが対数的モチーフの三角圏lDMにおいて表現可能であることを示すことである．相互層Fとk上の滑らかなスキームXにたいしそのNisnevichkホモロジーH^i (X,F) と Hom_(lDM ) (M(X,triv),Log(F)[i]) との間に自然な同型を構成する．ここで(X,triv)はXに自明な対数構造を与えた対数スキームで, Log(F)はFに付随して自然に定まるlDMの対象である．
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