2021 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on noncommutative algebraic geometry
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20H01797
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大川 新之介 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60646909)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / 代数曲面 / 導来圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非可換代数幾何学の諸課題に取り組んだ。まず、（特に正標数で定義された）中心上有限生成な非可換非特異代数曲面と代数スタックの森田同値について研究した。主結果は、前者に対して具体的な方法で非特異な（従順）代数スタックが構成でき、前者の上の連接加群の圏が後者の上の1-捻り連接層の圏と同値になるというものである。この直接の系として、前者がOrlovの意味の幾何学的非可換スキームであることがわかった。また、前者のHochschild cohomologyが後者のそれの直和因子であることもわかった。以上を共著 arXiv:2206.13359 として発表した。
また、極小代数多様体の導来圏の半直交分解に関する予想に進展があった。報告者らの以前の研究により、標準線型系の基点集合が半直交分解に強い制約をかけることがわかっていたが、これを射に対して一般化（相対化）したものが有用であることを発見したため、これを証明した。相対版は、射に対する線型性を満たす特別な半直交分解のみに関する定理だが、相対標準線型系の基点集合は通常のそれよりも小さいので、その分だけ更に強い制約が得られる。一方、任意の半直交分解がAlbanese射に対して線型であることをPirozhkovが証明していた。よって、これに相対版の定理を適用することで、任意の半直交分解について従前よりも強い主張が得られた。特に、非正則数が正の極小代数曲面の導来圏が非分解であることが証明できた。以上を arXiv:2304.14048 として発表した。
また、非可換2次曲面の偏極の分類と2次Hirzebruch曲面の導来圏の球面捻りとの関係を書き下すことができた。
さらに、詳細は本課題を基課題とする国際共同研究強化の報告に譲るが、ある種の非可換3次元射影空間の3次曲面を非可換射影平面の6点爆発として記述する研究に大きな進展があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非可換曲面とスタックの関係に関する研究結果は、非可換代数曲面の双有理分類に関する予想（M. Artinによる。）を解決するための1ステップとして共同研究者によって提案されたものである。他に複数のステップがあり、その中には解決するための方針すらまだ立っていないものも1つあるが、少なくとも予想に向けて中身のある進展が得られたと言って良いと考える。
極小代数曲面の導来圏の半直交分解の研究は、報告者らの研究のあとしばらく停滞していたが、それに触発された複数の研究者らによる近年の研究の成果を自然かつ最も一般的な形で整理することで上述の進展を得ることができた。さらに、非正則数が正の極小曲面が非分解であることの証明の中で今野による相対線型系の基点集合に関する結果を用いるのがcrucialであるが、これが今後の研究の方針に繋がった（後述）。
非可換2次曲面の偏極の分類を球面捻りと関係づけた結果は、証明は容易であるものの、これによって非可換del Pezzo曲面の偏極の分類がaffine Weyl群と関係する仕組みに関する予想が得られたという点で意義深い。この研究についてMFOのワークショップで講演したが、非可換射影幾何学の専門家たちから好意的な評価を得られた。
さらに、非可換3次曲面の研究で目標としていた問題をおおよそ解決することができた。
以上を踏まえて、期待どおりの進捗が得られたと判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
スタックのHochschild cohomologyは非可換代数曲面のそれよりも計算し易いと期待されるので、これを計算することで非可換代数曲面の変形、特に標数0へのリフトを理解・分類したいというのが当初のモチベーションであった。これが次の課題と言える。ただしこれを実行するためには（問題となるクラスの）スタックに対してHKR同型を証明する必要があり、ここが一番の課題である。
代数曲面の半直交分解に関しては、上述の研究により、一般型曲面で非正則数が0の場合が残された。この場合を解決するためには、曲面の標準線型系の基点集合の形式近傍の標準線型系の基点集合を解析する必要があると思われる。上述の今野の研究についての論文の中では、これは「興味深い問題」として言及されるに留まっており、実際にどこまで難しいのかは取り組んでみないとわからない。
また、これらの研究がどの程度順調に進むかにも応じて、非可換代数幾何学に関して続けている他のプロジェクトも進める。特に、既に大枠が完成している研究を論文の形に完成させることに注力する。さらに、非可換射影平面の分類の証明を概念的なものに置き換える研究を形にしたい。
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