2021 Fiscal Year Annual Research Report
Study of the geometric structure of three manifolds by using quantum invariants
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20H01803
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 結び目理論 / 量子不変量 / 双曲幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目補空間の幾何構造の量子化の構成の第１歩として，結び目補空間の基本群の量子化を，スケイン加群とボトムタングルの手法を用いて構成した．基本群は，空間内の閉路を用いて構成されるが，この閉路は単位区間から空間への写像で定義され，連続的な変形で移り合う閉路は同値な閉路とすることで基本群の元が定義されている．この閉路の概念に対し，単位区間から空間への写像に対して，その像を考え，像同士が連続変形で移り合うもののみを同値な閉路とすることで，量子化された閉路の集合が考えられ，さらにスケイン関係式と呼ばれる関係を像の交点のところに与えることで，基本群の SL(2) 表現が量子化できることが知られている．さらに，京都大学数理科学研究所の葉廣氏により，ボトムタングルという図から定義される代数系により，閉路全体のなす集合をホップ代数の観点から取り扱うことが可能となった．
本研究では，以上のスケイン加群とボトムタングルの理論とを組み合わせて，結び目補空間のスケイン加群のボトムタングルを用いた表示法を与えた．また，これが結び目補空間の基本群の SL(2) 表現の量子化にあたるものであることも示した．具体的には，結び目の組み紐による表示や，さらに一般的なプラットと呼ばれる表示から，補空間のスケイン加群の具体的な表示法を与えた．穴あき円板のスケイン加群はよく知られたものであるが，結び目補空間のスケイン加群を穴あき円板のスケイン加群の商空間として実現できること，また，この商空間を構成するための部分空間の具体的な記述を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
パンデミックのため，対面による研究交流，特に国外の研究者との研究交流が制約を受けたため，研究がやや遅れている．
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| Strategy for Future Research Activity |
スケイン加群を用いた基本群の量子化については目処がついてきたので，今後は，この基本群の量子化を，体積予想と呼ばれる，色付きジョーンズ多項式と双曲体積との関係についての予想の解決のために活用する．
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