2020 Fiscal Year Annual Research Report
Study of operator algebras and quantum symmetries
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20H01805
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
泉 正己 京都大学, 理学研究科, 教授 (80232362)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | フュージョン圏 / Cuntz環 / 部分因子環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モジュラーテンソル圏は、共形場理論、量子群の表現論、低次元トポロジーや、作用素環の理論に登場する近年注目を集めている代数系であるが、フュージョン圏の特別な場合であり、一般のフュージョン圏のDrinfeld中心はモジュラーテンソル圏となる。代表者はこれまでの研究で、near-group 圏と呼ばれる圏とその一般化である2次圏の分類に取り組んできた。2次圏とは、単純な対象が有限群の元以外に本質的に1つのみ存在するフュージョン圏である。2次圏には重複度と呼ばれるパラメーターがあるが、この量が1でない場合の分類は容易ではない。
本研究では、オハイオ州立大学のDavid Pennyes准教授と、ヴァンダービルト大学のCain Edie-Michel研究員と共同で、Z_2 2次圏の完全分類を行った。Z_2 2次圏とは、有限群の部分が位数2の巡回群である2次圏である。これまでの研究で、Drinfeld 中心のモジュラーデータを用いた議論により、重複度が2以下であることはわかっていたが、重複度が2の場合でも、組み合わせ論的な複雑さからこれまでの方法で分類を実行するのは容易では無かった。代表者は、Tube代数を用いることにより、Victor Ostrik のformal codegree の理論を一般化することに成功し、これを用いて困難を克服し、さらにこれまで独自に開発してきたCuntz環の方法の一般化を使うことにより完全分類を成功させた。さらに共同研究者は、代表者の議論をCuntz環を表に出さない形に整理することに成功し、作用素環論以外の研究者にも理解できる形にまとめることに成功した。フュージョン圏の理論においてこのような一般的な分類結果はまれであり、また今回行ったformal codegree の一般化は今後の基本的な道具になりうることにおいても、本研究は満足のいくものであった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的の１つである、作用素環を使った新たなモジュラーテンソル圏の構成に関して、有効な方法をあたえる技術的な進展があった。代表者が以前の研究で発見したポテンシャルモジュラーデータに対応するモジュラーテンソル圏を実際に構成するには、これまで扱ってこなかったような２次圏を構成し、そのDrinfeld中心を計算する必要がある。これまで2次圏を構成する方法は、申請者が以前の研究で導入したCuntz環による方法しか知られていなかったが、今回の研究でCuntz環を有限巡回群作用の接合積により拡張することにより、群の部分が非自明な associator を持つ2次圏の場合にもこの方法が有効であることがわかった。さらに今回の研究で得られた、formal codegree の一般化は、重複度が２以上の場合を扱う方法を与えており、これまで構成が困難であった2次圏の構成に道を開いた。さらにこの方法は、Tube代数の計算に関係しているため、Drinfeld中心の計算にも有望である。
本研究のもう一つの目標である、離散従順群の核型C*環への作用の分類に関しては、海外の研究会にオンラインにより参加し講演を行うことにより、（対面の研究会に参加するのと比べれば不十分とは言え）専門家との情報交換ができた。これにより、これまで扱っていなかったG-kernelの分類に関するアイデアを得たのは収穫であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
作用素環を使った新たなモジュラーテンソル圏の構成に関しては、有限可換群 P,Q の組から得られる2次圏の構成をCuntz環やその有限巡回群による接合積を使って構成する。このまでは、P={0} の場合である near-group 圏と、Q={0} の場合である一般化 Haagerup 圏しか扱ってこれなかった。比較的簡単な P=Z/2Z の場合でも、代表者が以前の研究で発見したポテンシャルモジュラーデータの実現に関する３つの予想に関係しており、本研究が成功すれば、３つの予想を一挙に解決できる。また P=Z_2 の部分が Drinfeld 中心のボゾンに拡張されるときには、この2次圏の de-equivariantization が重複度が高い near-group 圏に関係している。P=Z/2Z, Q=Z/7Z の場合の計算できれば、これまで群が Z/3Z の場合にしか知られなかった高い重複度を持つ near-group 圏の例を、Z/7Z の場合にも構成できる可能性がある。
離散従順群の核型C*環への作用の分類に関して、これまでの松井宏樹との共同研究において導入した群作用のコホモロジー的不変量を、G-kernelの場合に一般化する。これまでG-kernel に関する K 理論的不変量は、Evington Pacheco が代数的 K 理論を用いて導入したものに限られており、C*環が安定有限な場合に場合にのみ有効であった。我々のアイデアは代数的 K 理論ではなく通常の作用素環の K 理論を用いるものであり、準無限C*環に対しても有効であると考えられる。この不変量とこれまでの群作用の分類理論を組み合わせることにより、G-kernelの分類ができる可能性がある。
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