2022 Fiscal Year Annual Research Report
Study of operator algebras and quantum symmetries
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20H01805
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
泉 正己 京都大学, 理学研究科, 教授 (80232362)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | フュージョン圏 / Cuntz 環 / 部分因子環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モジュラーテンソル圏は、共形場理論、量子群の表現論、低次元トポロジーや、作用素環の理論に登場する近年注目を集めている代数系であるが、フュージョン圏の特別な場合であり、一般のフュージョン圏の Drinfeld 中心はモジュラーテンソル圏となる。代表者はこれまでの研究で、near-group 圏と呼ばれる圏とその一般化である2次圏の分類に取り組んできた。2次圏とは、単純な対象が有限群の元以外に本質的に1つのみ存在するフュージョン圏である。このれらの2次圏は、Cuntz 環の自己準同型を構成することにより得られたが、それらの自己準同型を使って2次圏の tube 代数を計算することが可能であり、Drinfeld 中心のモジュラーデータを計算することができた。ニューサウスウェールズ大学の Pinhas Grossman 准教授とのこれまでの一連の共同研究で、このようにして得られたモジュラーデータが、対合と非退化2次形式を持つ有限可換群の組から構成されるいくつかの無限系列の一部であることが判明した。これらの無限系列を実現するモジュラーテンソル圏が実際に存在するかどうかは重要な未解決問題であり、我々はこれらの無限系列を潜在的モジュラーデータと呼んでいる。逆にある系列の潜在的モジュラデータの存在は、これまで知られていなかった2次圏の系列の存在を示唆しており、新たな2次圏に関するいくつかの予想が得られている。
Grossman 氏と共同で、新たな2次圏を実現するための構造定数の方程式を導出し、位数が小さな群の場合にこの方程式を解くことにより実際に予想を確かめた。また tube 代数の計算を実行するための予備的な計算を行った。得られた方程式は相当に複雑であり、より多くの解を構成し tube 代数の構造を明らかにするには計算機を使った組織的な計算が必要であるので、その準備的な計算を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
作用素環を使った新たなモジュラーテンソル圏の構成に関して、有限可換群 P,Q の組からCuntz 環を使ってこれらを構成するための方程式系を得ることに成功した。以前の研究では、P={0} の場合である near-group 圏と、Q={0} の場合である一般化 Haagerup 圏しか扱ってこなかった。比較的簡単な P=Z/2Z で Q が非自明な奇数位数の場合でも、代表者が以前の研究で発見した潜在的モジュラーデータの実現に関する3つの予想に関係している。これまでの計算で Q=Z/3Zの場合に予想が正しいことが確かめられ、Q=Z/5Z や Q=Z/7Q の場合の部分的計算は、これらの場合にも予想が正しいこと強く示唆している。また P=Z/2Z の部分が Drinfeld 中心のボゾンに拡張されるときには、この2次圏の de-equivariantization が重複度が高い near-group 圏に関係していることが分かってきた。P=Z/2Z, Q=Z/7Z の場合の計算が完成れば、これまで群が Z/3Z の場合にしか知られなかった高い重複度を持つ near-group 圏の例を、Z/7Z の場合にも構成できる。また、P=Z/2Z の場合の Tube 代数のに関する予備的計算は、これまで実現性が知られていなっかった潜在的モジュラデータの実現が可能であることを強く示唆しており、計算機を使った組織的な計算を実行すれば、実際に実現することが可能であると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの Grossman 准教授との共同研究を継続して、計算機を使った組織的な計算を実行する。まずより多くの群 Q に対して構造定数に関する方程式を解く。この場合、より小さな数体を使うことにより計算時間を短縮する必要があり、円分体を使った効率よい変数変換を行ってから計算を行う。実際このような変数変換がとても有効であることは、Q=Z/7Z の場合に既に確かめられている。tube 代数の計算を行う場合、これまで near-group 圏や一般化 Haagerup 圏の場合の計算では起こらなかった、T 行列の固有値の縮退が起こる可能性があり、実際これまでの予備的計算はこの現象が起こることを示唆している。縮退が起これば、計算機を使った T 行列の対角化はこれまでのように簡単に行うことはできなくなる。この困難を克服するためには、half-braiding 方程式と T 行列の対角化を組み合わせる方法が考えられる。
これまで構造定数の方程式が得られた2次圏では、主に P の結合子が自明な場合を扱ってきた。結合子が自明でない場合は、Cuntz 環の群作用による接合積を使う必要があり、この方法が P=Z/2Z で Q が自明な場合に有効であることが、これまでの研究で確かめられてきた。一般の Q に対しても同様なことが可能であると予想されるので、まずはその場合に構造定数を決定する方程式を導出する。これが成功すれば、near-group 圏の de-equivariantization の Drinfeld 中心を決定するための足場となり、新たな潜在的モジュラーデータの系列の実現が可能性に繋がる。またこれまで全く知られていなかった2次圏の系列が見つかる可能性もある。
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