2023 Fiscal Year Annual Research Report
New developments in stochastic analysis
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20H01807
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
稲浜 譲 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80431998)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
星野 壮登 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 准教授 (20823206)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 確率解析 / ラフパス理論 / 特異な確率偏微分方程式 / 大偏差原理 / マリアバン解析 / 緩急系の平均化原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
確率解析に関する各種の話題を研究目標にしているが、研究代表者は主にラフパス理論とマリアバン解析に関することを中心に研究を進めた。それ以外にも確率微分方程式の緩急系に対する大偏差原理の研究をラフパス理論の観点から行った。分担者は当初の計画どおりに、特異な確率偏微分方程式に関する研究を精力的に進めた。この段落で触れた話題はどれも現在の確率解析において先端的かつ中心的だとみなされており、非常に重要だと思っている。
ラフパス理論はマリアバン解析と呼ばれるウィーナー空間上の無限次元関数解析的な理論と非常に相性がいいことが知られている。当初の予定通りにこの路線に沿った研究を今年度も進めた。今回はガウス過程のラフパス持ち上げで駆動されるラフパスの意味での確率微分方程式の解の密度関数の研究に応用して、Wong-Zakakiの近似定理と呼ばれている伝統ある定理の「ラフパス版かつ密度関数版」を証明した。この種の近似定理やそれと強く関連する数値解法に関する話題は理論的にも実用上も重要であり、さらにありがたいことにラフパス理論の視点からはまだまだ問題が残っているように見えるので、この先もこの方向で問題を探し続けるつもりである。
また確率微分方程式やラフ微分方程式の連立緩急系の研究にも触れておきたい。この話題は一時期低迷していたようだが、ここ最近は復活して世界中で多くの論文が出版されている。しばらく前に受け入れた外国人ポスドクの勧めもありこの話題を追いかけ始めたが、今年は緩急系に対する「中偏差原理」という極限定理を証明することができた。なお中偏差原理は大偏差原理の特殊例である。その結果、この話題をラフパスの観点から見ると、かなり面白いことに気づかされた。この路線はこれからも有望だと思うので研究を続ける。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ありがたいことに、申請者も分担者も順調に論文が書けており、特に心配する点はなさそうである。
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| Strategy for Future Research Activity |
特に問題を感じていないので、当初の計画通り確率解析の研究、特にラフパス理論と特異な確率偏微分方程式の研究に邁進する。個人的にはラフ微分方程式の緩急系の平均化原理に関する問題群が、当初予想していたよりずっと面白いことがわかってきたので、この路線にも力を入れていくつもりである。
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