2020 Fiscal Year Annual Research Report
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20H01815
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
宮地 晶彦 東京女子大学, 現代教養学部, 研究員 (60107696)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
古谷 康雄 東海大学, 理学部, 教授 (70234903)
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
冨田 直人 大阪大学, 理学研究科, 教授 (10437337)
筒井 容平 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40722773)
澤野 嘉宏 中央大学, 理工学部, 教授 (40532635)
小林 政晴 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (60259900)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 調和解析 / 実関数論 / 関数解析 / 関数方程式 / 関数空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多重線形の擬微分作用素でシンボルの導関数が決まった関数で抑えられるクラスの作用素に対して、新しいシンボルのクラスを導入し、これまで知られていたLebesgue空間での有界性を含む精密な結果を示した。この研究においては、アマルガム空間と呼ばれる関数空間とBrascamp-Lieb型不等式を利用することが重要な鍵となった。また3重線形Hilbert変換について、双線形の場合を単純に一般化した有界性は成り立たないことを示した。
双線形の分数階積分作用素に対する重み付き評価について新しい不等式を得た。その不等式には2進立方体の直積に対するFefferman-Phong型不等式やCarleson型埋め込み不等式が密接に関係していることを示した。この研究にはスパース作用素が有効に利用された。関数のメディアンと最大関数に対する一般論を整備した。
Morrey空間に関して、変動指数型Morrey空間の相対コンパクト集合の特徴付け、複素補間空間の性質、各点乗子となる関数の特徴付けについて、標準的な設定の下でこれまでに知られていた結果を、一般的な設定の下へ拡張した。また、分数階積分作用素や特異積分作用素のMorrey空間における評価も一般化した。
非圧縮粘Navier-Stokes方程式をBesov空間で考察し、定常解の存在と安定性を示した。同じく非圧縮粘Navier-Stokes方程式を臨界のルベーグ空間においても考察し、弱解が強解になるための条件を得た。消散型偏微分方程式に対して、短時間Fourier変換を用いた解の表示を示し、それを用いてStrichartz型評価などを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多重線形擬微分作用素など、調和解析に現れる多重線形特異積分作用素の研究は、本研究の大きな目標のひとつであるが、双線形の場合に、非負関数に対する一般的な不等式を用いてHormanderクラスよりも広いクラスを導入し、一般的な結果を得ることができた。さらに多重線形の場合にも、臨界指数でのHormanderクラスに対する有界性について精密な結果を得る見込みが得られている。
非負関数に対する多重線形の不等式を調べることも本研究の大きな目標であるが、これに関して、多重線形分数階積分作用素の重み付き不等式と2進立方体に関する不等式などとの関連を見いだしたことは、今後の研究の指針となる。また、Hausdorffコンテントによって定義されるLebesgue空間を用いて新しい形の評価を得る可能性が見えてきた。
調和解析に登場する種々の関数空間を調べることに関し、多重線形の特異積分作用素や多重線形分数階積分作用素の評価の研究にも関連して、アマルガム空間やWienerアマルガム空間などの関数空間を利用することが有効であることがわかった。また、Morrey空間、アマルガム空間、スパース作用素など、調和解析にしばしば現れる関数空間や作用素の一般的な性質に関わる研究も進んでいる。
実関数論と調和解析の結果と方法を関数方程式の解析に利用することに関して、Navier-Stokes方程式に対する解析を行い、Schrodinger方程式、Airy方程式などの消散型偏微分方程式に対して短時間Fourier変換や種々の関数空間を利用した解析を展開することができた。これらは今後のさらなる発展につながると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
多重線形の擬微分作用素の研究に関して、令和2年と3年に行った研究で、シンボルの導関数が決まった関数で抑えられるクラスについては、ほぼ満足のいく結果が得られた。最近Rodriguez-Lopezらによって、シンボルに斉次1次の振動項を含む特殊の擬微分作用素に対しては、一般論から出る評価よりもよい評価が成り立つ、という結果が得られている。これは線形の場合には古くから知られた結果であるが、Rodriguez-Lopezらの研究は線形の場合を多重線形の或る特殊な場合へ拡張したものである。今後は、Rodriguez-Lopezらの研究に関連して、斉次1次の振動項を含むシンボルの場合の研究を進めたい。この研究は、これまでと同様、宮地、冨田、古谷を中心として進める。
非負作用素や非負関数に関する不等式の研究で、主に田中が中心となって進めてきたHausdorffコンテントに関する研究は、ひとつの鍵となる不等式を証明することができた。今後は、田中に古谷と澤野も協力して、実関数論の手法を取り入れた新たな関数空間について研究を進める。
調和解析に現れる関数空間の研究で、種々の形のMorrey空間とアマルガム空間のさらに詳しい研究を進める。擬微分作用素の研究で我々が見出した新たなクラスは、Morrey空間と関連があるように見られるので、澤野、宮地、冨田、中井が協力して研究を進める。
調和解析と実関数論の結果と方法を関数方程式の解析に応用する研究は、引き続き、筒井、小林、澤野が中心となって進める。
解析学関連の研究集会やセミナーにおいて解析学の広い分野の研究者と最近の研究に関して研究連絡・研究討論を行う。研究集会などに本研究の代表者・分担者が出席するだけでなく、研究協力者にも出席を依頼して研究連絡・研究討論を行う。
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