2022 Fiscal Year Annual Research Report
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20H04238
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
田中 章 北海道大学, 情報科学研究院, 教授 (20332471)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 教師付き機械学習 / 再生核 / 再生核ヒルベルト空間 / モデル選択 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主眼のである、多様で複雑なカーネル族の生成において重要な構成要素の一つは、所与の関数族を結びつける正定値対称行列のパラメトライズであり、特に当該正定値対称行列の固有ベクトルからなる直交行列のパラメトライズが問題となる。当該直交行列を「歪対称行列の Cayley 変換」によって生成することを着想した。これは、当該写像が可微分であり、後段の最適化に対して有利に働くとの考えによるものである。一方、当該写像では、全ての直交行列を生成することができないこと、具体的には固有値-1を有する直交行列が生成できないことが知られており、まずは、当該変換によって、どのような直交行列が得られるかを理論的に解析した。その結果、以下の二つの理論的成果を得た。
(1)直交行列を構成するベクトルの順序の違いを同一視した直交行列集合の同値類の代表元を、歪対称行列の Cayley 変換により必ず生成できるための(当該直交行列が満たすべき)必要十分条件を明らかにし、更に既知の知見と組み合わせることにより、ベクトルの向き、及び、順序の違いを無視した直交行列の代表元を、歪対称行列の Cayley 変換により無条件で生成できることを示した。なお、歪対称行列の Cayley 変換により生成される直交行列を、同値類と関連させて解析した結果は、我々独自のものである。
(2)加えて、各要素の絶対値が√2-1以下となるような歪対称行列の Cayley 変換によって、当該代表元を無条件で構成できることも証明した。この成果は、従来、別のアプローチで得られていた上限である1よりも小さく、最適化において探索範囲を大幅に縮減できることを意味する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2年目～3年目で予定していた項目のうち、多様で複雑なカーネル族を体系的に生成するための方法論は、申請段階の構想にて概ね達成しているものの、当初予想していたとおり、生成されたカーネル族の理論的な性質の解明には至らず、よって、本年度は、カーネル族をパラメトライズする方法の考案、及び、その最適化への利用に向けた理論的性質の解明(当初、３年目後半から4年目を想定)に注力した。進捗が思わしくない項目と予定より先行して実施した項目があるため、概ね順調に推移していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
現状、残る課題は、
(1)提案するカーネル族を用いた具体的案学習機械の構成とそのモデル選択の実装、並びに、実問題への適用
(2)提案するカーネル族に対応する再生核ヒルベルト空間の(軽量等の)理論的性質の解明
の二点である。今後は、実用上の優位性の実証を優先し、(1)の課題の解決に注力する。残る(2)については、実用という視点からは重要度はそれほど高くないため、可能であれば、最終年度に実施する予定である。
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