2021 Fiscal Year Annual Research Report
Birational geometry and derived categories toward non-commutative birational geometry
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21H00970
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
川又 雄二郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別教授 (90126037)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 非可換変形 / 代数多様体 / 代数曲面 / Q-Gorenstein変形 / 導来圏 / 半直交分解 / pretilting / 非可換環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非可換変形の理論の一般理論を研究するとともに、代数幾何学への応用を探った。その中で、特異点を持った代数多様体で、n滑らかな多様体への変形を持つようなものに対して、導来圏が変形でどのように変化するかを研究した。滑らかな代数多様体の導来圏はSerre関手を持つなどの良い性質を持ち、重要な非特異多様体では導来圏が例外対象列で生成されるものがあるが、特異点を持つ多様体の場合には導来圏の構造は複雑でありこのようなことは起こり得ない。一方、極小モデル理論においては、代数多様体に穏やかな特異点を許すことが基本である。しかし、重み付き射影平面のようにpre-tiltingな対象の列で生成されるものもある。そこで、Q-Gorenstein変形によって非特異化されるような代数曲面の導来圏を考察した。代数曲面がPg＝q＝０を満たすとき、因子的層を非可換変形すると普遍変形はpre-tiltingな局所自由層になり、しかもそれはQ-Gorenstein変形にそって一意的に拡張され、Hackingによって構成された例外ベクトル束の直和に変形することを証明した。特に、pre-tiltingな局所自由層の自己同型環として得られる有限次元非可換環（これは変形のパラメーター環でもある）が、行列環の直積環に変形することがわかった。こうして、Hackingのベクトル束の、より自然な構成が得られたことにもなる。この結果は、極小モデル理論におけるKollar-Shepherd-Barronコンパクト化と導来圏の半直交分解を繋ぐものであり、新しい知見を開くものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Q-Gorenstein変形とHackingベクトル束に関する論文はまだ出版されていないが評判が良く、すでにUrzua-Tevelevによる後続論文が発表されている。順調に研究が進んでいると言えると思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
特異点を持った代数多様体の導来圏の研究をさらに進める。特に、pre-tiltingベクトル束を使った半直交分解や、特異点の圏についても研究を進める。
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Research Products
(4 results)
