2023 Fiscal Year Annual Research Report
Structure theorem for varieties of special type focusing on rational connected fibrations and its application to classification theory
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21H00976
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
松村 慎一 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90647041)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | almost nef / 非負に曲がる特異計量 / 擬有効性 / 接ベクトル層 / 極大準エタール被覆 / オービフォルドベクトル束 / 解析的極小モデル理論 / 非負曲率性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 複素幾何や代数幾何に現れる“様々な非負曲率性”を研究する. 具体的には, (a) 接ベクトル束の特異計量, (b) 正則断面曲率, (c) オービフォルドの反標準束に対する“非負曲率性”を研究し, 非負曲率を持つ射影多様体やKaehler多様体に対する構造定理を確立し分類理論へ応用する.
2023年度は擬有効な接ベクトル束を持つ射影代数多様体を研究した. その成果としてその有理連結射に対する構造定理をKLT特異点を許す射影代数多様体へ一般化した. 具体的には, 接ベクトル層のalmost nef性およびsingular positively curved性の理論を整備し, KLT特異点を許す射影代数多様体の有理連結射の構造を決定した. その過程で, 非特異な多様体を扱う際にはみえない, almost nef性, singular positively curved性の違いが明確になり, 擬有効性への理解が深まった. また, 適切な意味での層の平坦性の極大準エタール被覆上における振る舞いへの理解も深まった.
また, Cao-HoringのNef反標準束に対する構造定理を3次元の場合にコンパクトKaehler多様体へ解析化した. その過程で, 昨年度に引き続き, 極小モデル理論と有理連結射の関係の一端が明らかになった. 証明では, ３次元の解析的極小モデル理論とオービフォルドベクトル束の解析的な側面を明らかにした. その過程でオービフォルドへの理解が深まった. この議論は３次元の特有のものであるが, 高次元のKaehler多様体へ一連の構造定理を一般化するためには有理曲線と有理連結射の射影性が主要問題であることを明らかにできた. 今後はこの方向で一連の成果の高次元のKaehler多様体への一般化を目指す.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
接ベクトル束の特異計量や擬有効性については概ね計画通りの一般化を与えることができた. Nef反標準束に対しては, 結果自体は３次元に限定されたものではあるが, その過程で解析的極小モデル理論やオービフォルドベクトル束の興味深い応用が見つかった. これは来年度以降の研究につながる成果である. 全体としてはおおむね順調に進展していると判断できる.
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度にはNef反標準束をもつ３次元のコンパクトKaehler多様体に対する構造定理を確立した. 2024年度以降はこの構造定理の高次元および特異点を許すKaehler空間への一般化を目指す.
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