2021 Fiscal Year Annual Research Report
標準束の複素幾何学; 標準計量の退化と漸近挙動の研究
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21H00979
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高山 茂晴 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20284333)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 複素幾何学 / 相対標準束 / 標準計量 / 漸近挙動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
f : X --> Y を複素多様体間の全射固有正則写像とする. 本年度は, 主としてこれまでのファイバー積分に関する写像ｆの特異点のまわりでの漸近展開についての理論を拡充する研究を行なった. L を X 上の正則直線束, h をその一つのエルミート計量とする. ファイバー積分により順像層 f_*(K_{X/Y} \otimes L) には (正確には Y のあるザリスキー開集合上) 標準L^2計量 g が入る. f が滑らかでない場合には g は特異点を持ちうる. しかし幾らかの弱い仮定の下で, g の特異性もマイルドであることが期待されている. これに関して, 今年度は次の結果を得た. Y は単位円板 { t \in C; |t|<1 }とし, f は Y - { 0 } 上滑らか, f : X --> Y は半安定(semi-stable)とする. このとき f_*(K_{X/Y} \otimes L) の標準L^2計量 g は原点 0 の周りでMumfordの意味でgoodである. Mumfordの意味でgoodとは, 詳しい定義はしないが, 穴空き単位円板のポアンカレ計量と微分も込めて同等ということである. 計量を行列表示したときの, 対角成分以外の部分の評価に技術的な困難があることが以前から知られていたが、その困難を解決した.
一方,７月下旬には「多変数複素解析葉山シンポジウム」（オンライン開催）を, ９月上旬には「複素幾何学の諸問題 II」と題した研究集会（プロブレムセッション）を大阪市立大学においてハイブリッド開催した. 後者は複素幾何学の関係各分野からその分野を代表するような研究者に講演を依頼し, 若手の新規参入を促すような研究集会である. １１月には「複素幾何学シンポジウム」を（ハイブリッド）開催し, 国際的な研究交流を行なった.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
底空間の次元が１の場合に目標とする研究課題を解決し、さらに当初の目的には入っていなかった抽象的なマンフォード良性に関する判定法を定式化することに成功したから。
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| Strategy for Future Research Activity |
f : X --> Yを複素多様体間の全射固有正則写像とする. これまでのファイバー積分に関する写像ｆの特異点のまわりでの漸近展開についての理論を拡充し、一様評価付きの漸近展開の理論を構築する。
Zをコンパクト複素多様体とする。Z上の各m次標準形式 s in H^0(Z, mK_Z) に対し、そのL^p擬ノルム(p=2/m < 2)が適宜正規化した巾 |s|^{2/m} の積分を用いて定まる。このL^p擬ノルムの正則退化族における漸近挙動を調べる。具体的には, f : X --> Y は半安定(semi-stable)な射で、Yは１次元単位円板とする。このとき滑らかな各ファイバー X_y (y \ne 0) 上で、上述のように H^0(X_y, mK_{X_y}) には自然にL^p擬ノルム空間としての構造が入る。今後はこのL^p空間の y --> 0 としたときの極限空間の存在と一意性に関する研究を行う。
より具体的な方策は以下の通りである。代数幾何学の同種のホッジ構造の退化の理論との関連から極限空間と思われる混合L^p空間構造の研究を行う。複素幾何学からのアプローチでは、以前の海外共同研究で得たベルグマン核計量の極限の研究と関連付けた議論により研究する。また、リーマン面の退化族の場合に関する理論の検証から得られる、期待される主張をより複素解析的なものとしての定式化も試みる。
一方,７月下旬には「多変数複素解析葉山シンポジウム」を開催する。現時点では対面形式として開催を計画しているが、講演者の多くが海外からの招待者であることから、オンライン併用のハイブリッド開催となる可能性もある。１１月上旬には「複素幾何学シンポジウム」を金沢にて対面形式で開催する。少数の海外からの講演者も含む予定である。この機会にこれまで得られた研究成果について講演する予定である。
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